問題文は、三角形ACDの内接円の半径 $r_1$ を求め、次に円Kの中心から海岸線までの距離 $h = \frac{8}{5}$ が与えられたとき、円Kの半径 $r_2$ を求め、最後に灯台のある丸い形をした島の半径を求めるものです。

1. 問題の内容

問題文は、三角形ACDの内接円の半径 $r_1$ を求め、次に円Kの中心から海岸線までの距離 $h = \frac{8}{5}$ が与えられたとき、円Kの半径 $r_2$ を求め、最後に灯台のある丸い形をした島の半径を求めるものです。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ACD$ の3辺に接する円の半径 $r_1$ について

問題文に $CD = x$ とするとき、$\triangle ACD = \frac{1}{2}r_1 (x + y + z)$ となることが書かれています。ここで、$y = AC$、$z = AD$ とします。

しかし、これ以上の情報がないため、$r_1$ を具体的な数字で求めることはできません。したがって、$r_1 = \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}}$ と表現されています。

(2) 円Kの半径 $r_2$ について

図2をよく見ると、$\triangle ACD$ と $\triangle AHK$ が相似であることがわかります。

ここで、$AH$ は海岸線に垂直な線であり、Kから$AH$に下ろした垂線の足が$AH$上にあると仮定します。

$\triangle ACD$ は底辺を $AC$ とすると高さが不明ですが、$CD = x$とされているため、辺$AC$と$AD$の長さの情報が不足しています。$r_1$も不明であることから、幾何的な情報だけでは$r_2$を特定できません。

しかし、問題文には円Kの中心から海岸線までの距離 $h = \frac{8}{5}$ が与えられています。$r_2$が$h$に関係すると仮定すると、$\triangle AHK$ が$\triangle ACD$と相似であることから、$r_2$は$\frac{8}{5}$に比例します。

円Kの中心から海岸線までの距離$h$と円Kの半径$r_2$が等しい場合、$h=r_2$となります。

(3) 灯台のある丸い形をした島の半径

問題文と図から判断すると、灯台のある丸い形をした島の半径は、円Kの半径$r_2$と同じであると考えられます。したがって、$r_2 = \frac{8}{5}$であれば、島の半径も $\frac{8}{5}$ となります。

3. 最終的な答え

△ACDの3辺に接する円の半径 $r_1$ は $\frac{\text{ネ}}{\text{ノ}}$ である。（これ以上は不明）

円Kの半径 $r_2$ は $\frac{8}{5}$ とわかる。($\frac{\text{ハ}}{\text{ヒフ}}$)

したがって、灯台のある丸い形をした島の半径は $\frac{8}{5}$ であることがわかる。($\frac{\text{ハ}}{\text{ヒフ}}$)