2点 $A(-2, 5)$ と $B(8, 1)$ が与えられています。線分 $AB$ を $1:3$ に内分する点と外分する点の座標をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

2点 $A(-2, 5)$ と $B(8, 1)$ が与えられています。線分 $AB$ を $1:3$ に内分する点と外分する点の座標をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 内分点の座標を求める。線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点の座標は、次の式で求められます。

$$\left( \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n} \right)$$

ここで、$A(x_1, y_1) = (-2, 5)$、$B(x_2, y_2) = (8, 1)$、$m = 1$、$n = 3$ です。

内分点の $x$ 座標は、

$$\frac{3(-2) + 1(8)}{1+3} = \frac{-6 + 8}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

内分点の $y$ 座標は、

$$\frac{3(5) + 1(1)}{1+3} = \frac{15 + 1}{4} = \frac{16}{4} = 4$$

したがって、内分点の座標は $(\frac{1}{2}, 4)$ です。

(2) 外分点の座標を求める。線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点の座標は、次の式で求められます。

$$\left( \frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n} \right)$$

ここで、$A(x_1, y_1) = (-2, 5)$、$B(x_2, y_2) = (8, 1)$、$m = 1$、$n = 3$ です。

外分点の $x$ 座標は、

$$\frac{-3(-2) + 1(8)}{1-3} = \frac{6 + 8}{-2} = \frac{14}{-2} = -7$$

外分点の $y$ 座標は、

$$\frac{-3(5) + 1(1)}{1-3} = \frac{-15 + 1}{-2} = \frac{-14}{-2} = 7$$

したがって、外分点の座標は $(-7, 7)$ です。

3. 最終的な答え

内分点の座標は $(\frac{1}{2}, 4)$ 、外分点の座標は $(-7, 7)$ です。