1から8までの数字が書かれた8枚のカードから1枚を引き、元に戻すという試行を $n$ 回行う。このとき、数字の8のカードが取り出される回数が奇数回である確率 $p_n$ を $n$ の式で表せ。

1. 問題の内容

1から8までの数字が書かれた8枚のカードから1枚を引き、元に戻すという試行を $n$ 回行う。このとき、数字の8のカードが取り出される回数が奇数回である確率 $p_n$ を $n$ の式で表せ。

2. 解き方の手順

まず、$n$ 回の試行で8のカードが取り出される確率を考えます。8枚のカードから1枚取り出すので、8のカードが取り出される確率は $\frac{1}{8}$、8以外のカードが取り出される確率は $\frac{7}{8}$ です。

$p_n$ を $n$ 回の試行で8のカードが奇数回取り出される確率とします。$n+1$ 回の試行で8のカードが奇数回取り出される確率 $p_{n+1}$ は、次の2つの場合に分けられます。

(1) $n$ 回の試行で8のカードが偶数回取り出され、$(n+1)$回目に8のカードが取り出される場合。

(2) $n$ 回の試行で8のカードが奇数回取り出され、$(n+1)$回目に8のカードが取り出されない場合。

$n$回の試行で8のカードが偶数回取り出される確率は $1 - p_n$ であるから、$p_{n+1}$は次のように表されます。

$$p_{n+1} = (1 - p_n) \cdot \frac{1}{8} + p_n \cdot \frac{7}{8}$$

$$p_{n+1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{8} p_n + \frac{7}{8} p_n = \frac{1}{8} + \frac{6}{8} p_n = \frac{1}{8} + \frac{3}{4} p_n$$

次に、$p_{n+1} - \alpha = \frac{3}{4}(p_n - \alpha)$ の形に変形します。

$p_{n+1} = \frac{3}{4} p_n + \frac{1}{8}$より、$\alpha = \frac{3}{4}\alpha + \frac{1}{8}$ を解くと、$\frac{1}{4}\alpha = \frac{1}{8}$ より $\alpha = \frac{1}{2}$。

よって、$p_{n+1} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} (p_n - \frac{1}{2})$。

数列 $\{p_n - \frac{1}{2}\}$ は、初項 $p_1 - \frac{1}{2}$、公比 $\frac{3}{4}$ の等比数列です。

$p_1$ は1回の試行で8のカードが取り出される確率なので、$p_1 = \frac{1}{8}$。

したがって、$p_1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{8} - \frac{1}{2} = -\frac{3}{8}$。

$$p_n - \frac{1}{2} = \left(-\frac{3}{8}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$$

$$p_n = \frac{1}{2} - \frac{3}{8} \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$$

$$p_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \left(\frac{3}{4}\right)^n = \frac{1}{2}\left(1 - \left(\frac{3}{4}\right)^n\right)$$

3. 最終的な答え

$p_n = \frac{1}{2}\left(1 - \left(\frac{3}{4}\right)^n\right)$