問1：標準正規分布に従う確率変数$Z$について、以下の確率を満たす$a$と$b$の値を求めます。 (1) $P(Z \geq a) = 0.05$ (2) $P(Z \geq b) = 0.01$ 問2：正規母集団$N(\mu, 2^2)$から大きさ$n=25$の標本を取り、帰無仮説$H_0: \mu = 5$、対立仮説$H_1: \mu = 6$を検定します。標本平均$\bar{X}$の分布の右裾を棄却域として使用します。 (1) $H_0$が真であるときの$\bar{X}$の分布を求めます。 (2) $H_1$が真であるときの$\bar{X}$の分布を求めます。 (3) $H_0$が真であるときの$\bar{X}$の分布において、$P(\bar{X} \geq x) = 0.05$ (第1種の誤りの確率) を満たす$x$の値を求めます。そして、$H_1$が真であるときの$\bar{X}$の分布において、第2種の誤りの確率 $P(\bar{X} \leq x)$ を求めます。

1. 問題の内容

問1：標準正規分布に従う確率変数$Z$について、以下の確率を満たす$a$と$b$の値を求めます。

(1) $P(Z \geq a) = 0.05$

(2) $P(Z \geq b) = 0.01$

問2：正規母集団$N(\mu, 2^2)$から大きさ$n=25$の標本を取り、帰無仮説$H_0: \mu = 5$、対立仮説$H_1: \mu = 6$を検定します。標本平均$\bar{X}$の分布の右裾を棄却域として使用します。

(1) $H_0$が真であるときの$\bar{X}$の分布を求めます。

(2) $H_1$が真であるときの$\bar{X}$の分布を求めます。

(3) $H_0$が真であるときの$\bar{X}$の分布において、$P(\bar{X} \geq x) = 0.05$ (第1種の誤りの確率) を満たす$x$の値を求めます。そして、$H_1$が真であるときの$\bar{X}$の分布において、第2種の誤りの確率 $P(\bar{X} \leq x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

問1：

(1) $P(Z \geq a) = 0.05$を満たす$a$の値は、標準正規分布表から求めます。 $P(Z \leq a) = 1 - 0.05 = 0.95$ となる$a$の値を探すと、約1.645となります。

(2) $P(Z \geq b) = 0.01$を満たす$b$の値も同様に、標準正規分布表から求めます。$P(Z \leq b) = 1 - 0.01 = 0.99$ となる$b$の値を探すと、約2.33となります。

問2：

(1) $H_0$が真であるとき、$\mu = 5$です。母集団分布は$N(5, 2^2)$であり、標本サイズは$n=25$なので、標本平均$\bar{X}$の分布は以下のようになります。

$\bar{X} \sim N(5, \frac{2^2}{25}) = N(5, \frac{4}{25}) = N(5, 0.16)$

(2) $H_1$が真であるとき、$\mu = 6$です。母集団分布は$N(6, 2^2)$であり、標本サイズは$n=25$なので、標本平均$\bar{X}$の分布は以下のようになります。

$\bar{X} \sim N(6, \frac{2^2}{25}) = N(6, \frac{4}{25}) = N(6, 0.16)$

(3) $H_0$が真であるときの$\bar{X}$の分布は$N(5, 0.16)$です。$P(\bar{X} \geq x) = 0.05$を満たす$x$を求めます。 標準化すると、$Z = \frac{\bar{X} - 5}{\sqrt{0.16}} = \frac{\bar{X} - 5}{0.4}$となります。

$P(\bar{X} \geq x) = P(Z \geq \frac{x - 5}{0.4}) = 0.05$

標準正規分布表から、$P(Z \geq 1.645) = 0.05$なので、

$\frac{x - 5}{0.4} = 1.645$

$x - 5 = 1.645 \times 0.4 = 0.658$

$x = 5 + 0.658 = 5.658$

次に、$H_1$が真であるときの$\bar{X}$の分布は$N(6, 0.16)$です。このとき、$P(\bar{X} \leq x)$、つまり$P(\bar{X} \leq 5.658)$を求めます。

標準化すると、$Z = \frac{\bar{X} - 6}{\sqrt{0.16}} = \frac{\bar{X} - 6}{0.4}$となります。

$P(\bar{X} \leq 5.658) = P(Z \leq \frac{5.658 - 6}{0.4}) = P(Z \leq \frac{-0.342}{0.4}) = P(Z \leq -0.855)$

標準正規分布表から、$P(Z \leq -0.855) \approx 0.196$となります。

3. 最終的な答え

問1：

(1) $a = 1.645$

(2) $b = 2.33$

問2：

(1) $\bar{X} \sim N(5, 0.16)$

(2) $\bar{X} \sim N(6, 0.16)$

(3) $x = 5.658$, $P(\bar{X} \leq x) = 0.196$