Aを含む男子3人とBを含む女子3人が円形に並ぶときの、以下の条件を満たす並び方の数を求める問題です。 (1) AとBが向かい合う。 (2) AとBが隣り合う。 (3) 男女が交互に並ぶ。

1. 問題の内容

Aを含む男子3人とBを含む女子3人が円形に並ぶときの、以下の条件を満たす並び方の数を求める問題です。

(1) AとBが向かい合う。

(2) AとBが隣り合う。

(3) 男女が交互に並ぶ。

2. 解き方の手順

(1) AとBが向かい合う場合

まず、Aの位置を固定します。円順列なので、誰かを固定して考えるのが基本です。

次に、BをAの向かい側に配置します。AとBの位置は固定されたので、残りの4人の並び方を考えます。

残りの男子2人の並び方は$2! = 2$通りです。

残りの女子2人の並び方も$2! = 2$通りです。

したがって、AとBが向かい合う並び方は$2! \times 2! = 2 \times 2 = 4$通りです。

(2) AとBが隣り合う場合

まず、Aの位置を固定します。

次に、BをAの右隣または左隣に配置します。この配置方法は2通りです。

残りの4人の並び方は$4! = 24$通りです。

したがって、AとBが隣り合う並び方は$2 \times (2! \times 2!) = 2 \times 2 \times 2 = 8$通りです。

AとBの位置を固定したときの残りの4人の並び方を考えると、$4! = 24$となるため$2 \times 2! \times 2! = 2 \times 2 \times 2 = 8$通りとなります。

Aの位置を固定し、BがAの隣に来るように考えます。AとBを1つの組として考えます。残りの男子2人と女子2人と合わせて、5つのものを円形に並べる並び方は$(5-1)! = 4! = 24$通りです。AとBの並び方は2通りなので、全体で$2 \times 4! = 2 \times 24 = 48$通りです。

(3) 男女が交互に並ぶ場合

まず、Aの位置を固定します。

次に、Aの隣には女子が来なければなりません。Aの隣にはBまたは残りの女子1人が来ます。

Aの隣にBが来る場合、残りの男子2人はもう一方の男子2人の間に並びます。残りの女子1人はもう一方の女子の間に並びます。男子2人の並び方は$2!$通り、女子1人の並び方は$1!$通りなので、$2! \times 1! = 2 \times 1 = 2$通りです。

Aの隣にA以外の女子が来る場合、残りの男子2人はもう一方の男子2人の間に並びます。残りの女子1人はもう一方の女子の間に並びます。男子2人の並び方は$2!$通り、女子2人の並び方は$2!$通りなので、$2! \times 2! = 2 \times 2 = 4$通りです。

Aの位置を固定し、女子と男子が交互に並ぶ並び方を考えます。Aの隣には必ず女子が来ます。Bを含む女子3人は、$2! = 2$通りの円順列で並びます。男子2人は、$2! = 2$通りの順列で並びます。よって、$2! \times 2! = 2 \times 2 = 4$通りです。

3. 最終的な答え

(1) AとBが向かい合う並び方：4通り

(2) AとBが隣り合う並び方：48通り

(3) 男女が交互に並ぶ並び方：4通り