M駅の近くにマイホームを建てようとしているTさんが、8箇所の住宅地について地価を調査した。M駅からの距離Xと地価Yの関係が与えられている。 (1) 散布図の作成 (2) 偏差平方和Sx, Syと、偏差積和Sxyの計算 (3) 相関係数rxyの計算 (4) 回帰直線y=a+bxのパラメータa, bの推定 (5) 回帰直線の散布図への描画 (6) M駅からの距離が300mの住宅地Iの地価の推定 (7) M駅からの距離が500mの住宅地Jの地価の推定 (8) M駅からの距離が1000mの住宅地Kの地価の推定 (9) M駅からの距離が2000mの住宅地Lの地価の推定 (10) (6)~(9)の地価推定の妥当性の検討と、より適切な回帰モデルの提案

1. 問題の内容

M駅の近くにマイホームを建てようとしているTさんが、8箇所の住宅地について地価を調査した。M駅からの距離Xと地価Yの関係が与えられている。

(1) 散布図の作成

(2) 偏差平方和Sx, Syと、偏差積和Sxyの計算

(3) 相関係数rxyの計算

(4) 回帰直線y=a+bxのパラメータa, bの推定

(5) 回帰直線の散布図への描画

(6) M駅からの距離が300mの住宅地Iの地価の推定

(7) M駅からの距離が500mの住宅地Jの地価の推定

(8) M駅からの距離が1000mの住宅地Kの地価の推定

(9) M駅からの距離が2000mの住宅地Lの地価の推定

(10) (6)~(9)の地価推定の妥当性の検討と、より適切な回帰モデルの提案

2. 解き方の手順

(1) 散布図の作成：

横軸にM駅からの距離X、縦軸に地価Yを取ったグラフを作成する。与えられたデータ(A~H)をプロットする。

(2) 偏差平方和と偏差積和の計算：

まず、XとYの平均値を計算する。

Xの平均値：

$\bar{x} = (200 + 440 + 140 + 350 + 320 + 170 + 400 + 240) / 8 = 282.5$

Yの平均値：

$\bar{y} = (30 + 12 + 36 + 18 + 24 + 32 + 16 + 32) / 8 = 25$

次に、偏差平方和Sx, Syと偏差積和Sxyを計算する。

$S_x = \sum_{i=1}^{8} (x_i - \bar{x})^2 = (200-282.5)^2 + (440-282.5)^2 + (140-282.5)^2 + (350-282.5)^2 + (320-282.5)^2 + (170-282.5)^2 + (400-282.5)^2 + (240-282.5)^2 = 108550$

$S_y = \sum_{i=1}^{8} (y_i - \bar{y})^2 = (30-25)^2 + (12-25)^2 + (36-25)^2 + (18-25)^2 + (24-25)^2 + (32-25)^2 + (16-25)^2 + (32-25)^2 = 458$

$S_{xy} = \sum_{i=1}^{8} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (200-282.5)(30-25) + (440-282.5)(12-25) + (140-282.5)(36-25) + (350-282.5)(18-25) + (320-282.5)(24-25) + (170-282.5)(32-25) + (400-282.5)(16-25) + (240-282.5)(32-25) = -19465$

(3) 相関係数の計算：

相関係数$r_{xy}$は以下の式で計算できる。

$r_{xy} = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_x S_y}} = \frac{-19465}{\sqrt{108550 \times 458}} = \frac{-19465}{\sqrt{49715900}} \approx -0.873$

(4) 回帰直線の推定：

回帰直線$y = a + bx$の傾き$b$は以下の式で計算できる。

$b = \frac{S_{xy}}{S_x} = \frac{-19465}{108550} \approx -0.179$

切片$a$は以下の式で計算できる。

$a = \bar{y} - b\bar{x} = 25 - (-0.179) \times 282.5 = 25 + 50.5675 \approx 75.57$

(5) 回帰直線の散布図への描画：

(1)で作成した散布図に、求めた回帰直線$y = 75.57 - 0.179x$を描画する。

(6) 地価の推定（I）：

M駅からの距離が300mの場合、

$y = 75.57 - 0.179 \times 300 = 75.57 - 53.7 = 21.87$万円/m²

(7) 地価の推定（J）：

M駅からの距離が500mの場合、

$y = 75.57 - 0.179 \times 500 = 75.57 - 89.5 = -13.93$万円/m²

(8) 地価の推定（K）：

M駅からの距離が1000mの場合、

$y = 75.57 - 0.179 \times 1000 = 75.57 - 179 = -103.43$万円/m²

(9) 地価の推定（L）：

M駅からの距離が2000mの場合、

$y = 75.57 - 0.179 \times 2000 = 75.57 - 358 = -282.43$万円/m²

(10) 地価推定の妥当性：

M駅からの距離が500m, 1000m, 2000mの地点の地価推定値が負の値になっているため、この回帰モデルをそのまま用いて地価を推定するのは妥当ではない。これは、回帰モデルがデータ範囲外の値を予測する際に不適切な結果を出す可能性があるためである。

より適切なモデルを作成するためには、

- データ範囲を広げる：M駅からの距離が500m以上の地点の地価データも収集し、回帰分析を行う。

- 非線形モデルを検討する：地価が距離に対して線形に減少するとは限らないため、2次関数や指数関数などの非線形モデルを試す。

- 他の要因を考慮する：地価はM駅からの距離だけでなく、周辺環境や施設の有無など、他の要因にも影響される可能性がある。これらの要因も考慮したモデルを作成する。

3. 最終的な答え

(2) Sx = 108550, Sy = 458, Sxy = -19465

(3) rxy = -0.873

(4) a = 75.57, b = -0.179

(6) 21.87万円/m²

(7) -13.93万円/m²

(8) -103.43万円/m²

(9) -282.43万円/m²

(10) 妥当ではない。回帰モデルがデータ範囲外で不適切な値を出すため。データ範囲を広げる、非線形モデルを検討する、他の要因を考慮する。