3つの袋A, B, Cがあり、それぞれの袋には3枚のカードが入っている。袋Aには0が3枚、袋Bには0が2枚と1が1枚、袋Cには1が3枚入っている。それぞれの袋から2枚ずつカードを取り出した上で、袋Aから取り出した2枚のカードは袋Bに、袋Bから取り出した2枚のカードは袋Cに、袋Cから取り出した2枚のカードは袋Aに入れる。その後、袋を一つ選び、その袋の中から1枚のカードを取り出すとき、そのカードが0である確率を求める。ただし、カードを袋から取り出す確率はそれぞれ等しく、また、袋A, B, Cを選ぶ確率もそれぞれ等しいものとする。
2025/6/3
1. 問題の内容
3つの袋A, B, Cがあり、それぞれの袋には3枚のカードが入っている。袋Aには0が3枚、袋Bには0が2枚と1が1枚、袋Cには1が3枚入っている。それぞれの袋から2枚ずつカードを取り出した上で、袋Aから取り出した2枚のカードは袋Bに、袋Bから取り出した2枚のカードは袋Cに、袋Cから取り出した2枚のカードは袋Aに入れる。その後、袋を一つ選び、その袋の中から1枚のカードを取り出すとき、そのカードが0である確率を求める。ただし、カードを袋から取り出す確率はそれぞれ等しく、また、袋A, B, Cを選ぶ確率もそれぞれ等しいものとする。
2. 解き方の手順
まず、袋A, B, Cから2枚のカードを取り出す際のパターンを考える。
袋Aからは0が3枚なので、取り出す2枚は必ず0, 0である。
袋Bからは0が2枚、1が1枚なので、取り出す2枚は0, 0または0, 1である。
袋Cからは1が3枚なので、取り出す2枚は必ず1, 1である。
次に、それぞれの袋にカードを移動させた後の各袋の中身を考える。
袋Aからは(0, 0)を取り出し袋Bへ移動、袋Bからは2パターンあり、袋Cへ移動、袋Cからは(1, 1)を取り出し袋Aへ移動。
それぞれのパターンについて、各袋の中身を計算する。
パターン1: 袋Bから(0, 0)を取り出した場合
- 袋A: 元々(0, 0, 0) + 袋Cから(1, 1) = (0, 0, 0, 1, 1)
- 袋B: 元々(0, 0, 1) + 袋Aから(0, 0) - (0, 0) = (0, 0, 1) + (0, 0) - (0, 0) = (0, 0, 1)
- 袋C: 元々(1, 1, 1) + 袋Bから(0, 0) - (1, 1) = (1, 1, 1, 0, 0) - (1, 1) = (0, 0, 1)
パターン2: 袋Bから(0, 1)を取り出した場合
- 袋A: 元々(0, 0, 0) + 袋Cから(1, 1) = (0, 0, 0, 1, 1)
- 袋B: 元々(0, 0, 1) + 袋Aから(0, 0) - (0, 1) = (0, 0, 1) + (0, 0) - (0, 1) = (0)
- 袋C: 元々(1, 1, 1) + 袋Bから(0, 1) - (1, 1) = (1, 1, 1, 0, 1) - (1, 1) = (0, 1, 1)
最後に、それぞれのパターンにおいて、袋を選んで0を取り出す確率を計算する。
各袋を選ぶ確率は1/3である。
パターン1: 袋A: (0, 0, 0, 1, 1), 袋B: (0, 0, 1), 袋C: (1, 1, 1). 袋Aから0を取り出す確率は3/5, 袋Bから0を取り出す確率は2/3, 袋Cから0を取り出す確率は
0. 確率は (1/3) * (3/5) + (1/3) * (2/3) + (1/3) * (0) = 1/5 + 2/9 = 9/45 + 10/45 = 19/
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5. 袋Bから(0,0)を取り出す確率は (2C2)/(3C2) = 1/3
パターン2: 袋A: (0, 0, 0, 1, 1), 袋B: (0), 袋C: (0, 1, 1). 袋Aから0を取り出す確率は3/5, 袋Bから0を取り出す確率は1, 袋Cから0を取り出す確率は1/
3. 確率は (1/3) * (3/5) + (1/3) * (1) + (1/3) * (1/3) = 1/5 + 1/3 + 1/9 = 9/45 + 15/45 + 5/45 = 29/
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5. 袋Bから(0,1)を取り出す確率は (2C1 * 1C1)/(3C2) = 2/
3. よって求める確率は (1/3)*(19/45) + (2/3)*(29/45) = (19 + 58)/135 = 77/
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3. 最終的な答え
77/135