数直線上の原点にある点Pに対して、サイコロを振って5以上の目が出ればPを正の向きに2だけ動かし、それ以外の目が出れば負の向きに1だけ動かすという操作を3回行う。 (1) 点Pの座標が3である確率を求めよ。 (2) 点Pの座標をXとするとき、Xの期待値を求めよ。

1. 問題の内容

数直線上の原点にある点Pに対して、サイコロを振って5以上の目が出ればPを正の向きに2だけ動かし、それ以外の目が出れば負の向きに1だけ動かすという操作を3回行う。

(1) 点Pの座標が3である確率を求めよ。

(2) 点Pの座標をXとするとき、Xの期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

5以上の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$であり、それ以外の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$である。

3回の操作で点Pの座標が3になるのは、正の向きに2だけ動く操作を2回、負の向きに1だけ動く操作を1回行った場合である。

この操作の組み合わせは3通りある。

正,正,負

正,負,正

負,正,正

したがって、点Pの座標が3である確率は

$3 \times (\frac{1}{3})^2 \times \frac{2}{3} = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$

(2)

Xは確率変数であり、3回の操作後の点Pの座標を表す。

Xがとりうる値は、以下の通り。

- 3回とも正の向きに動く場合: $2 \times 3 = 6$

- 2回正の向き、1回負の向き: $2 \times 2 - 1 = 3$

- 1回正の向き、2回負の向き: $2 - 1 \times 2 = 0$

- 3回とも負の向き: $-1 \times 3 = -3$

それぞれの確率を計算する。

- $P(X=6) = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

- $P(X=3) = 3 \times (\frac{1}{3})^2 \times \frac{2}{3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$

- $P(X=0) = 3 \times \frac{1}{3} \times (\frac{2}{3})^2 = 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$

- $P(X=-3) = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

Xの期待値は

$E(X) = 6 \times \frac{1}{27} + 3 \times \frac{6}{27} + 0 \times \frac{12}{27} + (-3) \times \frac{8}{27} = \frac{6 + 18 + 0 - 24}{27} = \frac{0}{27} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{9}$

(2) 0