M駅の近くの8箇所の住宅地AからHについて、M駅からの距離X(m)と地価Y(万円/m^2)が与えられています。 (1) 散布図の作成、(2) 偏差平方和と偏差積和の計算、(3) 相関係数の計算、(4) 回帰直線のパラメータ推定、(5) 回帰直線の描画、(6)～(9) 回帰モデルを用いた地価の推定、(10) モデルの妥当性の評価とその改善策の提案が求められています。

1. 問題の内容

M駅の近くの8箇所の住宅地AからHについて、M駅からの距離X(m)と地価Y(万円/m^2)が与えられています。

(1) 散布図の作成、(2) 偏差平方和と偏差積和の計算、(3) 相関係数の計算、(4) 回帰直線のパラメータ推定、(5) 回帰直線の描画、(6)～(9) 回帰モデルを用いた地価の推定、(10) モデルの妥当性の評価とその改善策の提案が求められています。

2. 解き方の手順

(1) 散布図の作成: 横軸をM駅からの距離X、縦軸を地価Yとして、与えられたデータをプロットします。

(2) 偏差平方和と偏差積和の計算:

まず、XとYの平均値を計算します。

$\bar{X} = \frac{200 + 440 + 140 + 350 + 320 + 170 + 400 + 240}{8} = \frac{2260}{8} = 282.5$

$\bar{Y} = \frac{30 + 12 + 36 + 18 + 24 + 32 + 16 + 32}{8} = \frac{200}{8} = 25$

次に、各データ点について偏差を計算し、偏差平方和と偏差積和を求めます。

$S_x = \sum_{i=1}^{8} (X_i - \bar{X})^2 = (200-282.5)^2 + (440-282.5)^2 + ... + (240-282.5)^2 = 79075$

$S_y = \sum_{i=1}^{8} (Y_i - \bar{Y})^2 = (30-25)^2 + (12-25)^2 + ... + (32-25)^2 = 758$

$S_{xy} = \sum_{i=1}^{8} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = (200-282.5)(30-25) + (440-282.5)(12-25) + ... + (240-282.5)(32-25) = -6365$

(3) 相関係数の計算:

$r_{xy} = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_x S_y}} = \frac{-6365}{\sqrt{79075 \times 758}} \approx -0.821$

(4) 回帰直線のパラメータ推定:

回帰直線の式を $y = a + bx$ とします。

$b = \frac{S_{xy}}{S_x} = \frac{-6365}{79075} \approx -0.0805$

$a = \bar{Y} - b\bar{X} = 25 - (-0.0805) \times 282.5 \approx 47.7$

(5) 回帰直線の描画:

(1)で作成した散布図に、求めた回帰直線 $y = 47.7 - 0.0805x$ を描きます。

(6)～(9) 回帰モデルを用いた地価の推定:

求めた回帰直線に、それぞれの距離を代入して地価を推定します。

住宅地I (300m): $y = 47.7 - 0.0805 \times 300 \approx 23.55$ (万円/m^2)

住宅地J (500m): $y = 47.7 - 0.0805 \times 500 \approx 7.45$ (万円/m^2)

住宅地K (1000m): $y = 47.7 - 0.0805 \times 1000 \approx -32.8$ (万円/m^2)

住宅地L (2000m): $y = 47.7 - 0.0805 \times 2000 \approx -113.3$ (万円/m^2)

(10) モデルの妥当性の評価とその改善策の提案:

住宅地K, Lの地価が負の値になっているため、この回帰モデルを遠方まで外挿するのは妥当ではありません。

このモデルは、M駅近辺の地価傾向を反映していると考えられますが、距離が大きくなるにつれて、他の要因（例えば、公共施設の有無、自然環境など）が地価に影響を与えるようになるため、単純な線形回帰では予測精度が低下します。

改善策としては、以下のような方法が考えられます。

* 非線形回帰モデルの利用（例えば、二次関数や指数関数など）。

* 他の説明変数の追加（例えば、最寄りのバス停からの距離、公園の面積など）。

* M駅からの距離がある程度以上離れたデータを除外して、モデルを再構築する。

3. 最終的な答え

(2) $S_x = 79075$, $S_y = 758$, $S_{xy} = -6365$

(3) $r_{xy} \approx -0.821$

(4) $a \approx 47.7$, $b \approx -0.0805$

(6) 住宅地Iの地価: 約23.55万円/m^2

(7) 住宅地Jの地価: 約7.45万円/m^2

(8) 住宅地Kの地価: 約-32.8万円/m^2

(9) 住宅地Lの地価: 約-113.3万円/m^2

(10) 遠方への外挿は妥当ではない。非線形モデルの利用、他の説明変数の追加、データ範囲の限定などを検討する。