与えられた式 $x^2 + 4xy + 3y^2 - 4x - 14y - 5$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 4xy + 3y^2 - 4x - 14y - 5$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を$x$について整理します。

$x^2 + (4y - 4)x + (3y^2 - 14y - 5)$

次に、$3y^2 - 14y - 5$を因数分解します。

$3y^2 - 14y - 5 = (3y + 1)(y - 5)$

したがって、与えられた式は

$x^2 + (4y - 4)x + (3y + 1)(y - 5)$

と書けます。

ここで、因数分解された形を$(x + ay + b)(x + cy + d)$と仮定します。

この形を展開すると、

$x^2 + (a+c)xy + acy^2 + (b+d)x + (ad+bc)y + bd$

となります。

与えられた式と比較すると、

$a + c = 4$

$ac = 3$

$b + d = -4$

$ad + bc = -14$

$bd = -5$

$ac = 3$となる整数解として、$a = 1, c = 3$または$a = 3, c = 1$があります。

$a = 1, c = 3$の場合、$a+c = 4$を満たします。

次に、$b + d = -4$かつ$bd = -5$となる整数解を探します。

考えられる組み合わせは、$b = 1, d = -5$または$b = 5, d = -1$または$b = -1, d = 5$または$b = -5, d = 1$です。

$a = 1, c = 3, b = 1, d = -5$の場合、$ad + bc = -5 + 3 = -2$となり条件を満たしません。

$a = 1, c = 3, b = 5, d = -1$の場合、$ad + bc = -1 + 15 = 14$となり条件を満たしません。

$a = 1, c = 3, b = -1, d = 5$の場合、$ad + bc = 5 - 3 = 2$となり条件を満たしません。

$a = 1, c = 3, b = -5, d = 1$の場合、$ad + bc = 1 - 15 = -14$となり条件を満たします。

したがって、$a = 1, c = 3, b = -5, d = 1$となります。

よって、$(x + y - 5)(x + 3y + 1)$

3. 最終的な答え

$(x + y - 5)(x + 3y + 1)$