ある人が交差点Aから出発し、サイコロを振って出た目に対応する方向に移動する操作を繰り返す。図に示す街路図上で、与えられた規則に従い、指定された交差点に到達する移動方法の数を求める問題である。具体的には、 (1) Aを出発し4回移動してBに到達する方法の数 (2) Aを出発し3回移動してCに到達し、さらに3回移動してDに到達する方法の数 (3) Aを出発し6回移動してDに到達する方法の数を求める。さらに、6回の移動の中で特定の方向への移動回数に注目して、移動方法の数を詳細に分析する。

1. 問題の内容

ある人が交差点Aから出発し、サイコロを振って出た目に対応する方向に移動する操作を繰り返す。図に示す街路図上で、与えられた規則に従い、指定された交差点に到達する移動方法の数を求める問題である。具体的には、

(1) Aを出発し4回移動してBに到達する方法の数

(2) Aを出発し3回移動してCに到達し、さらに3回移動してDに到達する方法の数

(3) Aを出発し6回移動してDに到達する方法の数を求める。さらに、6回の移動の中で特定の方向への移動回数に注目して、移動方法の数を詳細に分析する。

2. 解き方の手順

(1) Aを出発し4回移動してBに到達する方法の数を求める。

AからBへ行くには、左方向に2回、右方向に2回移動する必要がある。

それぞれの移動方向は、図の矢印の2と6に対応する。

よって、4回の移動で左に2回、右に2回となる組み合わせを考える。

4回の移動のうち、左への移動2回を選ぶ組み合わせは、$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

(2) Aを出発し3回移動してCに到達し、さらに3回移動してDに到達する方法の数を求める。

AからCへは、上方向に2回、下方向に1回移動する必要がある。

それぞれの移動方向は、図の矢印の1と4に対応する。

3回の移動のうち、上への移動2回を選ぶ組み合わせは、$_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$通り。

CからDへは、下方向に1回、右斜め下方向に2回移動する必要がある。

それぞれの移動方向は、図の矢印の4と5に対応する。

3回の移動のうち、下への移動1回を選ぶ組み合わせは、$_3C_1 = \frac{3!}{1!2!} = 3$通り。

よって、$3 \times 3 = 9$通り。

(3) Aを出発し6回移動してDに到達する方法の数を考える。

AからDへ行くには、下方向に2回、右方向に2回移動する必要がある。

すなわち、下方向(4)と右下方向(5)の移動の組み合わせを考える。

さらに、1, 2, 6の方向の移動回数を考慮する。

* 1の矢印の向きの移動を含む場合:

1を1回含む場合、残り5回でDにたどり着くことはできない。

よって、0通り。

* 2の矢印の向きの移動を含む場合:

AからDへ行くには、右方向への移動が2回必要。2を1回含む場合、残りの5回で、下方向2回、右方向1回を実現する必要がある。

不可能。よって、0通り。

2を2回含む場合、残りの4回の移動で下方向2回を実現する必要がある。

4を2回含まないと実現できない。

よって、4を2回、2を2回、残りを1回と6を1回選ぶ必要があり、これは実現できない。

* 6の矢印の向きの移動を含む場合:

2の場合と同様に、0通り。

上記3つ以外の場合、4の矢印の向きの移動は2回だけなので、残りの4回の移動は、5の方向への移動を4回行う必要がある。

4を2回、5を4回。

このときの場合の数は、$\frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$通り。

よって、交差点Aを出発し、6回移動して交差点Dにいる移動の仕方は 15通りである。

4を何回含むかで考える。

4を0回含む場合: $5をx回、1をy回、2をz回、3をu回、6をv回とすると、x+y+z+u+v = 6$ であり、

$Dにたどり着くには、5が2回、4が2回なので、$z = v = 0, u=0 でなくてはならない。

なので、ありえない。

4を1回含む場合: $5をx回、1をy回、2をz回、3をu回、6をv回とすると、x+y+z+u+v = 5$ であり、

$Dにたどり着くには、5が2回、4が1回で足りるので、残り3回の移動で、元の場所に留まる必要がある。

なので、不可能。

4を2回含む場合: $5をx回、1をy回、2をz回、3をu回、6をv回とすると、x+y+z+u+v = 4$ であり、

$Dにたどり着くには、5が2回必要。よって、$x=2。残り2回は、1, 3, 4, 5, 6のいずれかを2回選ぶことで元に戻る必要がある。

(1,-4),(2,-5),(3,-6), (4,-1), (5,-2), (6,-3)。方向が逆なので、1と4, 2と5, 3と6の組み合わせが必要。

ありえない。よって$x=4$しかない。

$5が4回の場合、移動方法は$\frac{6!}{2!4!} = 15通り。

3. 最終的な答え

(1) 6通り

(2) 9通り

(3) エ: 0通り

オカ: 0通り

オカ: 0通り

キ: 2回

クケ: 15通り

コサシ: 15通り