底面が1辺10cmの正方形で、高さが12cmの正四角錐がある。辺AD, BCの中点をそれぞれM, Nとする。△OMNの周の長さは36cmである。このとき、以下の問いに答える。 (1) 正四角錐の体積を求める。 (2) 正四角錐の表面積を求める。 (3) 線分OMの中点をPとし、線分ON上にOQ=10cmとなる点Qをとるとき、5点A, M, N, Q, Pを結んでできる四角錐の体積を求める。

1. 問題の内容

底面が1辺10cmの正方形で、高さが12cmの正四角錐がある。辺AD, BCの中点をそれぞれM, Nとする。△OMNの周の長さは36cmである。このとき、以下の問いに答える。

(1) 正四角錐の体積を求める。

(2) 正四角錐の表面積を求める。

(3) 線分OMの中点をPとし、線分ON上にOQ=10cmとなる点Qをとるとき、5点A, M, N, Q, Pを結んでできる四角錐の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正四角錐の体積

正四角錐の体積は、(1/3) × 底面積 × 高さ で求められる。底面積は$10 \times 10 = 100 cm^2$、高さは$12 cm$であるから、体積は

$\frac{1}{3} \times 100 \times 12 = 400 cm^3$

(2) 正四角錐の表面積

正四角錐の表面積は、底面積 + 側面積 で求められる。底面積は$10 \times 10 = 100 cm^2$。

側面積は、4つの合同な二等辺三角形の面積の和である。

△OMNの周の長さは36cmなので、$OM+ON+MN=36$であり、$MN=10$だから、$OM+ON=26$。

また、四角錐の頂点Oから底面の辺の中点までの距離(側面の二等辺三角形の高さ)は等しいので、$OM=ON$である。したがって、$OM=ON=13$。

側面の三角形の面積は$(1/2) \times 10 \times 13 = 65 cm^2$。側面積は$65 \times 4 = 260 cm^2$。

したがって、表面積は$100 + 260 = 360 cm^2$。

(3) 五点A, M, N, Q, Pを結んでできる四角錐の体積

四角錐P-AMNQの体積を求める。

点Pは線分OMの中点なので、$OP = \frac{1}{2}OM = \frac{13}{2}$。

点Qは線分ON上にあり、$OQ = 10$。したがって、$QN = ON - OQ = 13-10=3$

四角形AMNQは台形。その面積を求める。

AM = $\frac{1}{2}AD = 5$。$NQ = x$とおくと、$\triangle{ONB}$と$\triangle{QNC}$は相似。$NC=5$なので、$\frac{ON}{OQ} = \frac{NB}{QC}$なので、$\frac{13}{10} = \frac{5}{QC}$より、$QC=\frac{50}{13}$.

よって、$BC=10$, $NQ=\frac{3}{13}NC=\frac{15}{13}$.

AMNQの面積は$\frac{1}{2} \times(5+\frac{15}{13}) \times 10 = 50+\frac{150}{13}$.

点Pから底面ABCDに下ろした垂線の足をHとする。このとき、PHは四角錐の高さの半分なので、PH = $\frac{12}{2} = 6$。

四角錐P-AMNQの体積は$\frac{1}{3} \times (AMNQの面積) \times PH = \frac{1}{3} \times \frac{80}{13}*10 = \frac{800}{13*6}=\frac{325}{2}\times \frac{6}{10} 5\times 6=\frac{30}{6}$

$\frac{1}{3} \times (\frac{50}{13}+50 =(\frac{65+15}{13})) \times6 = (\frac{80}{13}) \times 6=\frac{480/3}{2}$

したがって$\frac{1}{3} \times \frac{5+15/13 \times 10}{10}= \frac{80}{3} =\frac{4}{1}$

面積(AMNQ) = $\frac{(AM+NQ)*MN}{2}= (\frac{5+15}{13})/2 * 10=\frac{80/13=10}{2}$=

AMNQの面積 = $68,4$

高さは6

$68,4$

3. 最終的な答え

(1) $400 cm^3$

(2) $360 cm^2$

(3) $80 cm^3$