与えられた対数を含む式を簡単にします。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(1)から(9)までのすべての問題を解いて回答します。

1. 問題の内容

与えられた対数を含む式を簡単にします。

2. 解き方の手順と答え

(1) $\log_2 8 + \log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} - \log_2 4$

$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$

$\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = \log_2 2^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}$

$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$

よって、 $3 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} = 0.5$

最終的な答え： $\frac{1}{2}$

(2) $\log_3 \frac{27}{\sqrt{2}} - \log_3 18 + \log_3 2\sqrt{6}$

$\log_3 \frac{27}{\sqrt{2}} = \log_3 27 - \log_3 \sqrt{2} = 3 - \frac{1}{2}\log_3 2$

$\log_3 18 = \log_3 (2 \cdot 3^2) = \log_3 2 + 2$

$\log_3 2\sqrt{6} = \log_3 2 + \log_3 \sqrt{6} = \log_3 2 + \frac{1}{2}\log_3 6 = \log_3 2 + \frac{1}{2}(\log_3 2 + \log_3 3) = \frac{3}{2}\log_3 2 + \frac{1}{2}$

$3 - \frac{1}{2}\log_3 2 - (\log_3 2 + 2) + \frac{3}{2}\log_3 2 + \frac{1}{2} = 3 - \frac{1}{2}\log_3 2 - \log_3 2 - 2 + \frac{3}{2}\log_3 2 + \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{-2+3}{2}\log_3 2 = \frac{3}{2}$

最終的な答え： $\frac{3}{2}$

(3) $\frac{1}{2} \log_2 3 + \log_4 28 - 3\log_8 \sqrt{21}$

$\frac{1}{2}\log_2 3 = \log_2 \sqrt{3}$

$\log_4 28 = \frac{\log_2 28}{\log_2 4} = \frac{\log_2 (4\cdot 7)}{2} = \frac{\log_2 4 + \log_2 7}{2} = \frac{2+\log_2 7}{2} = 1 + \frac{1}{2}\log_2 7$

$3\log_8 \sqrt{21} = 3 \frac{\log_2 \sqrt{21}}{\log_2 8} = 3\frac{\frac{1}{2}\log_2 21}{3} = \frac{1}{2}\log_2 21 = \frac{1}{2}\log_2 (3\cdot 7) = \frac{1}{2}(\log_2 3 + \log_2 7)$

$\log_2 \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{2}\log_2 7 - \frac{1}{2}\log_2 3 - \frac{1}{2}\log_2 7 = \frac{1}{2}\log_2 3 + 1 + \frac{1}{2}\log_2 7 - \frac{1}{2}\log_2 3 - \frac{1}{2}\log_2 7 = 1$

最終的な答え： $1$

(4) $\log_3 54 - \frac{1}{3}\log_3 162 - \frac{1}{3}\log_3 4$

$\log_3 54 = \log_3(2 \cdot 3^3) = \log_3 2 + 3$

$\frac{1}{3}\log_3 162 = \frac{1}{3}\log_3 (2 \cdot 3^4) = \frac{1}{3}(\log_3 2 + 4) = \frac{1}{3}\log_3 2 + \frac{4}{3}$

$\frac{1}{3}\log_3 4 = \frac{1}{3}\log_3 2^2 = \frac{2}{3}\log_3 2$

$\log_3 2 + 3 - \frac{1}{3}\log_3 2 - \frac{4}{3} - \frac{2}{3}\log_3 2 = 3 - \frac{4}{3} + \log_3 2 - \frac{1}{3}\log_3 2 - \frac{2}{3}\log_3 2 = \frac{5}{3} + (1 - \frac{1}{3} - \frac{2}{3})\log_3 2 = \frac{5}{3}$

最終的な答え： $\frac{5}{3}$

(5) $\log_3 5 \cdot \log_5 3$

底の変換公式より、

$\log_3 5 \cdot \log_5 3 = \log_3 5 \cdot \frac{\log_3 3}{\log_3 5} = \log_3 5 \cdot \frac{1}{\log_3 5} = 1$

最終的な答え： $1$

(6) $\log_2 3 \cdot \log_{27} 25 \cdot \log_5 32$

底の変換公式より、

$\log_2 3 \cdot \log_{27} 25 \cdot \log_5 32 = \log_2 3 \cdot \frac{\log_5 25}{\log_5 27} \cdot \log_5 32 = \log_2 3 \cdot \frac{2}{\log_5 3^3} \cdot \log_5 2^5 = \log_2 3 \cdot \frac{2}{3\log_5 3} \cdot 5\log_5 2 = \log_2 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\log_5 3} \cdot 5\log_5 2 = \log_2 3 \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\log_2 3}{\log_2 5}} \cdot \log_5 2 = \frac{10}{3} \log_2 3 \cdot \frac{\log_2 5}{\log_2 3} \cdot \frac{\log_2 2}{\log_2 5} = \frac{10}{3}$

最終的な答え： $\frac{10}{3}$

(7) $\log_4 3 + \log_2 \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\log_4 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 4} = \frac{\log_2 3}{2}$

$\log_2 \frac{2}{\sqrt{3}} = \log_2 2 - \log_2 \sqrt{3} = 1 - \frac{1}{2}\log_2 3$

$\frac{1}{2}\log_2 3 + 1 - \frac{1}{2}\log_2 3 = 1$

最終的な答え： $1$

(8) $\log_3 6 - \log_9 12$

$\log_3 6 = \log_3 (2 \cdot 3) = \log_3 2 + 1$

$\log_9 12 = \frac{\log_3 12}{\log_3 9} = \frac{\log_3 (4 \cdot 3)}{2} = \frac{\log_3 4 + 1}{2} = \frac{2\log_3 2 + 1}{2} = \log_3 2 + \frac{1}{2}$

$\log_3 2 + 1 - (\log_3 2 + \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

最終的な答え： $\frac{1}{2}$

(9) $2(\frac{1}{4}\log_2 \frac{1}{16})$

$2(\frac{1}{4}\log_2 \frac{1}{16}) = \frac{1}{2} \log_2 2^{-4} = \frac{1}{2} (-4) = -2$

最終的な答え： $-2$