(1) $p$ を正の数とし、ベクトル $\vec{a} = (1, 1)$ と $\vec{b} = (1, -p)$ がある。 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $60^\circ$ のとき、$p$ の値を求める。 (2) $\vec{a} = (1, -2)$, $\vec{b} = (m, n)$ ($m$ と $n$ は正の数) について、 $|\vec{b}| = \sqrt{10}$ であり、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $135^\circ$ である。このとき、$m, n$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $p$ を正の数とし、ベクトル $\vec{a} = (1, 1)$ と $\vec{b} = (1, -p)$ がある。 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $60^\circ$ のとき、$p$ の値を求める。

(2) $\vec{a} = (1, -2)$, $\vec{b} = (m, n)$ ($m$ と $n$ は正の数) について、 $|\vec{b}| = \sqrt{10}$ であり、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $135^\circ$ である。このとき、$m, n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos 60^\circ$ を利用する。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(-p) = 1 - p$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-p)^2} = \sqrt{1 + p^2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

したがって、

$1 - p = \sqrt{2} \sqrt{1 + p^2} \frac{1}{2}$

$2(1 - p) = \sqrt{2(1 + p^2)}$

$4(1 - 2p + p^2) = 2(1 + p^2)$

$4 - 8p + 4p^2 = 2 + 2p^2$

$2p^2 - 8p + 2 = 0$

$p^2 - 4p + 1 = 0$

$p = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

$p$ は正の数なので、$p = 2 + \sqrt{3}$ または $p = 2 - \sqrt{3}$。

$p = 2 + \sqrt{3}$ のとき、$1 - p = 1 - (2 + \sqrt{3}) = -1 - \sqrt{3} < 0$ なので、左辺は負になる。

$p = 2 - \sqrt{3}$ のとき、$1 - p = 1 - (2 - \sqrt{3}) = -1 + \sqrt{3} > 0$ なので、左辺は正になる。

$2(1-p)=\sqrt{2(1+p^2)}$ より、$1 - p > 0$ でないといけないので、$p < 1$。

$2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1.732 = 0.268 < 1$

$2 + \sqrt{3} > 1$

したがって、$p = 2 - \sqrt{3}$。

(2) $|\vec{b}| = \sqrt{10}$ より、$m^2 + n^2 = 10$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos 135^\circ$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(m) + (-2)(n) = m - 2n$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$

$|\vec{b}| = \sqrt{10}$

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、

$m - 2n = \sqrt{5} \sqrt{10} (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 5\sqrt{2} (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -5$

$m = 2n - 5$

$m^2 + n^2 = (2n - 5)^2 + n^2 = 4n^2 - 20n + 25 + n^2 = 5n^2 - 20n + 25 = 10$

$5n^2 - 20n + 15 = 0$

$n^2 - 4n + 3 = 0$

$(n - 1)(n - 3) = 0$

$n = 1$ または $n = 3$

$n = 1$ のとき、$m = 2(1) - 5 = -3 < 0$ 不適

$n = 3$ のとき、$m = 2(3) - 5 = 1 > 0$

したがって、$m = 1$, $n = 3$。

3. 最終的な答え

(1) $p = 2 - \sqrt{3}$

(2) $m = 1$, $n = 3$