$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ である。このとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ である。このとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角関数の相互関係 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用する。

$\sin \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$(\frac{1}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{9} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\cos \theta \le 0$ なので、

$\cos \theta = - \frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\tan \theta$ の値を求める。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ なので、

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{-2\sqrt{2}} = - \frac{1}{2\sqrt{2}}$

分母の有理化を行うと、

$\tan \theta = -\frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{2}}{4}$