(1) ベクトル $\vec{a} = (x-1, 3)$ と $\vec{b} = (1, x+1)$ が垂直になるような $x$ の値を求める。 (2) ベクトル $\vec{p} = (2, 1)$ に垂直で、大きさが $\sqrt{15}$ のベクトル $\vec{q}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a} = (x-1, 3)$ と $\vec{b} = (1, x+1)$ が垂直になるような $x$ の値を求める。

(2) ベクトル $\vec{p} = (2, 1)$ に垂直で、大きさが $\sqrt{15}$ のベクトル $\vec{q}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つのベクトルが垂直である条件は、内積が0になることです。つまり、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ が成り立ちます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (x-1)(1) + (3)(x+1) = 0$

$x - 1 + 3x + 3 = 0$

$4x + 2 = 0$

$4x = -2$

$x = -\frac{1}{2}$

(2) ベクトル $\vec{p} = (2, 1)$ に垂直なベクトルを $\vec{q} = (s, t)$ とすると、$\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$ が成り立ちます。

$\vec{p} \cdot \vec{q} = 2s + t = 0$

$t = -2s$

したがって、$\vec{q} = (s, -2s)$ と表せます。

$\vec{q}$ の大きさは $\sqrt{15}$ なので、

$|\vec{q}| = \sqrt{s^2 + (-2s)^2} = \sqrt{s^2 + 4s^2} = \sqrt{5s^2} = \sqrt{15}$

$5s^2 = 15$

$s^2 = 3$

$s = \pm \sqrt{3}$

$s = \sqrt{3}$ のとき、$\vec{q} = (\sqrt{3}, -2\sqrt{3})$

$s = -\sqrt{3}$ のとき、$\vec{q} = (-\sqrt{3}, 2\sqrt{3})$

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{1}{2}$

(2) $\vec{q} = (\sqrt{3}, -2\sqrt{3})$ または $\vec{q} = (-\sqrt{3}, 2\sqrt{3})$