二次式 $3x^2 + 2x - 5$ が $(ax+b)(cx+d)$ と因数分解できるとき、$ac = 3$ を満たす整数の組として、$a=1, c=3$ の場合のみを考えればよい理由を説明する問題です。

1. 問題の内容

二次式 $3x^2 + 2x - 5$ が $(ax+b)(cx+d)$ と因数分解できるとき、$ac = 3$ を満たす整数の組として、$a=1, c=3$ の場合のみを考えればよい理由を説明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$ac=3$ となる整数の組み合わせを考えます。3は素数なので、整数の範囲では以下の4つの組み合わせしかありません。

* $a=1, c=3$

* $a=3, c=1$

* $a=-1, c=-3$

* $a=-3, c=-1$

次に、$a=1, c=3$ の場合のみを考えれば良い理由を説明します。これは、以下の性質を利用します。

* $a$ と $c$ の符号がともに負の場合、すなわち、$a=-1, c=-3$ または $a=-3, c=-1$ の場合、因数分解の結果である $(ax+b)(cx+d)$ の各項から $-1$ をくくり出すことで、$a$ と $c$ がともに正の場合に帰着できます。例えば、$(-x+b)(-3x+d)$ は、 $(-1)(x-b)(-1)(3x-d) = (x-b)(3x-d)$ となります。

* $a=3, c=1$ の場合、$(ax+b)(cx+d) = (3x+b)(x+d)$ となります。この式は、$(cx+d)(ax+b) = (x+d)(3x+b)$ と書き換えることができます。つまり、$a$ と $c$ の役割を入れ替えることは、単に因数の順番を入れ替えることと同じなので、$a=1, c=3$ の場合だけ考えれば、実質的にすべての組み合わせを網羅できます。

以上の理由から、$ac=3$ を満たす整数の組として、$a=1, c=3$ の場合のみを考えれば十分です。

3. 最終的な答え

$ac=3$を満たす整数の組として、$a=1, c=3$だけを考えればよい理由は、以下の通りです。

* $a$と$c$がともに負の場合、因数分解の結果から-1をくくり出すことで、$a$と$c$がともに正の場合に帰着できる。

* $a$と$c$の役割を入れ替えることは、因数の順番を入れ替えることと同じなので、$a=1, c=3$の場合だけ考えれば、実質的にすべての組み合わせを網羅できる。