与えられた定積分を計算する問題です。以下の4つの定積分について、それぞれ計算結果を求めます。 (1) $\int_{0}^{2} (2x^3 + 3x^2) dx - \int_{0}^{2} 2x^2(x+1) dx$ (2) $\int_{-1}^{0} (x^2 - 2x) dx + \int_{0}^{1} (x^2 - 2x) dx$ (3) $\int_{2}^{3} (x^2 + 3x + 5) dx + \int_{3}^{2} (x^2 + 3x + 5) dx$ (4) $\int_{0}^{-1} x^2(2-x) dx$

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。以下の4つの定積分について、それぞれ計算結果を求めます。

(1) $\int_{0}^{2} (2x^3 + 3x^2) dx - \int_{0}^{2} 2x^2(x+1) dx$

(2) $\int_{-1}^{0} (x^2 - 2x) dx + \int_{0}^{1} (x^2 - 2x) dx$

(3) $\int_{2}^{3} (x^2 + 3x + 5) dx + \int_{3}^{2} (x^2 + 3x + 5) dx$

(4) $\int_{0}^{-1} x^2(2-x) dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、積分をまとめます。

$\int_{0}^{2} (2x^3 + 3x^2) dx - \int_{0}^{2} 2x^2(x+1) dx = \int_{0}^{2} (2x^3 + 3x^2 - 2x^3 - 2x^2) dx = \int_{0}^{2} x^2 dx$

次に、積分を計算します。

$\int_{0}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{2} = \frac{1}{3}(2^3 - 0^3) = \frac{8}{3}$

(2)

まず、それぞれの積分を計算します。

$\int_{-1}^{0} (x^2 - 2x) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - x^2 \right]_{-1}^{0} = (0 - 0) - (\frac{-1}{3} - 1) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$

$\int_{0}^{1} (x^2 - 2x) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - x^2 \right]_{0}^{1} = (\frac{1}{3} - 1) - (0 - 0) = \frac{1}{3} - 1 = \frac{-2}{3}$

次に、結果を足し合わせます。

$\frac{4}{3} + \frac{-2}{3} = \frac{2}{3}$

(3)

積分区間が逆なので、積分を入れ替えて符号を変えます。

$\int_{2}^{3} (x^2 + 3x + 5) dx + \int_{3}^{2} (x^2 + 3x + 5) dx = \int_{2}^{3} (x^2 + 3x + 5) dx - \int_{2}^{3} (x^2 + 3x + 5) dx = 0$

(4)

まず、展開します。

$\int_{0}^{-1} x^2(2-x) dx = \int_{0}^{-1} (2x^2 - x^3) dx$

次に、積分を計算します。

$\int_{0}^{-1} (2x^2 - x^3) dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{-1} = (\frac{-2}{3} - \frac{1}{4}) - (0 - 0) = \frac{-8 - 3}{12} = \frac{-11}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{3}$

(2) $\frac{2}{3}$

(3) $0$

(4) $-\frac{11}{12}$