全体集合 $U$ は10以下の自然数全体、$A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$, $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $C = \{7, 8, 9\}$である。 次の集合を求めよ。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup C$ (3) $\overline{A}$ (4) $A \cap \overline{C}$ (7) $A \cap \overline{B \cap C}$ (8) $A \cup (B \cap C)$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ は10以下の自然数全体、$A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$, $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $C = \{7, 8, 9\}$である。

次の集合を求めよ。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup C$

(3) $\overline{A}$

(4) $A \cap \overline{C}$

(7) $A \cap \overline{B \cap C}$

(8) $A \cup (B \cap C)$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分である。

$A \cap B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$

(2) $A \cup C$ は $A$ と $C$ の和集合である。

$A \cup C = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(3) $\overline{A}$ は $A$ の補集合であり、全体集合 $U$ から $A$ の要素を取り除いたものである。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ より、

$\overline{A} = \{1\}$

(4) $A \cap \overline{C}$ は $A$ と $C$ の補集合 $\overline{C}$ の共通部分である。

$\overline{C} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10\}$

$A \cap \overline{C} = \{2, 3, 4, 5, 6, 10\}$

(7) $A \cap \overline{B \cap C}$ は $A$ と $B \cap C$ の補集合の共通部分である。

$B \cap C = \emptyset$

$\overline{B \cap C} = U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A \cap \overline{B \cap C} = A \cap U = A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(8) $A \cup (B \cap C)$ は $A$ と $B \cap C$ の和集合である。

$B \cap C = \emptyset$

$A \cup (B \cap C) = A \cup \emptyset = A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$

(2) $A \cup C = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(3) $\overline{A} = \{1\}$

(4) $A \cap \overline{C} = \{2, 3, 4, 5, 6, 10\}$

(7) $A \cap \overline{B \cap C} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(8) $A \cup (B \cap C) = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$