全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ が与えられ、部分集合 $A = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$ と $B = \{2, 3, 4, 5, 7\}$ が与えられています。 (1) $A \cap B$ (AとBの共通部分) を求めなさい。 (2) $\overline{A} \cap B$ (Aの補集合とBの共通部分) を求めなさい。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ が与えられ、部分集合 $A = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$ と $B = \{2, 3, 4, 5, 7\}$ が与えられています。

(1) $A \cap B$ (AとBの共通部分) を求めなさい。

(2) $\overline{A} \cap B$ (Aの補集合とBの共通部分) を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ を求めるには、集合 A と集合 B の両方に含まれる要素をすべて見つけます。

A = {1, 3, 5, 6, 7, 9}

B = {2, 3, 4, 5, 7}

共通する要素は3, 5, 7なので、

$A \cap B = \{3, 5, 7\}$ となります。

(2) $\overline{A} \cap B$ を求めるには、まずAの補集合 $\overline{A}$ を求めます。これは全体集合UからAの要素を取り除いたものです。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

$A = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$

したがって、

$\overline{A} = \{2, 4, 8\}$ となります。

次に、$\overline{A}$ と B の共通部分を求めます。

$\overline{A} = \{2, 4, 8\}$

$B = \{2, 3, 4, 5, 7\}$

共通する要素は2, 4なので、

$\overline{A} \cap B = \{2, 4\}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{3, 5, 7\}$

(2) $\overline{A} \cap B = \{2, 4\}$