曲線 $y = x^5 + 6x^2 - x$ 上の点 $x = -1$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^5 + 6x^2 - x$ 上の点 $x = -1$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

* まず、接点の $y$ 座標を求める。$x = -1$ を $y = x^5 + 6x^2 - x$ に代入する。

* 次に、$y$ を $x$ で微分して、導関数 $dy/dx$ を求める。これは接線の傾きを与える。

* 求めた導関数に $x = -1$ を代入して、接点における接線の傾きを求める。

* 最後に、接点の座標と傾きを使って、接線の方程式を求める。接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。ここで $(x_1, y_1)$ は接点の座標、$m$ は接線の傾きである。

具体的に計算していく。

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^5 + 6(-1)^2 - (-1) = -1 + 6 + 1 = 6$。よって、接点の座標は $(-1, 6)$。

$y = x^5 + 6x^2 - x$ を $x$ で微分すると、

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\frac{dy}{dx} = 5x^4 + 12x - 1

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$x = -1$ のとき、接線の傾きは、

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\frac{dy}{dx}|_{x=-1} = 5(-1)^4 + 12(-1) - 1 = 5 - 12 - 1 = -8

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したがって、接線の方程式は、

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y - 6 = -8(x - (-1))

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y - 6 = -8(x + 1)

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y - 6 = -8x - 8

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y = -8x - 2

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3. 最終的な答え

$y = -8x - 2$