(1) $x$ についての一次方程式 $\frac{x-3}{2} - \frac{2x-1}{5} = -1$ の解を求める。 (2) $x$ についての一次方程式 $7 - \frac{x+2}{3} = \frac{x+1}{2}$ の解を求める。 (3) ある数 $x$ を5倍して4を引いた数は、$x$ を2倍して8を加えた数に等しい。この $x$ の値を求める。 (4) ある整数 $x$ に3を加えて7倍した数は、$x$ から1を引いて3倍した数に等しい。この $x$ の値を求める。 (5) 長さが24cmの針金を折り曲げて長方形を作ると、対角線の長さが $4\sqrt{5}$ cmになった。この長方形の長い方の辺の長さを求める。 (6) 長さが18cmの針金を折り曲げて長方形を作ると、面積が $18 cm^2$ になった。この長方形の対角線の長さを求める。

1. 問題の内容

(1) $x$ についての一次方程式 $\frac{x-3}{2} - \frac{2x-1}{5} = -1$ の解を求める。

(2) $x$ についての一次方程式 $7 - \frac{x+2}{3} = \frac{x+1}{2}$ の解を求める。

(3) ある数 $x$ を5倍して4を引いた数は、$x$ を2倍して8を加えた数に等しい。この $x$ の値を求める。

(4) ある整数 $x$ に3を加えて7倍した数は、$x$ から1を引いて3倍した数に等しい。この $x$ の値を求める。

(5) 長さが24cmの針金を折り曲げて長方形を作ると、対角線の長さが $4\sqrt{5}$ cmになった。この長方形の長い方の辺の長さを求める。

(6) 長さが18cmの針金を折り曲げて長方形を作ると、面積が $18 cm^2$ になった。この長方形の対角線の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{x-3}{2} - \frac{2x-1}{5} = -1$

両辺に10を掛ける。

$5(x-3) - 2(2x-1) = -10$

$5x - 15 - 4x + 2 = -10$

$x - 13 = -10$

$x = 3$

(2)

$7 - \frac{x+2}{3} = \frac{x+1}{2}$

両辺に6を掛ける。

$42 - 2(x+2) = 3(x+1)$

$42 - 2x - 4 = 3x + 3$

$38 - 2x = 3x + 3$

$35 = 5x$

$x = 7$

(3)

$5x - 4 = 2x + 8$

$3x = 12$

$x = 4$

(4)

$7(x+3) = 3(x-1)$

$7x + 21 = 3x - 3$

$4x = -24$

$x = -6$

(5)

長方形の縦の長さを $a$ cm、横の長さを $b$ cmとする。

$2(a+b) = 24$ より、$a+b = 12$

対角線の長さが $4\sqrt{5}$ cmなので、$a^2 + b^2 = (4\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 12^2 = 144$

$2ab = 144 - (a^2+b^2) = 144 - 80 = 64$

$ab = 32$

$a$ と $b$ は、$t^2 - 12t + 32 = 0$ の解である。

$(t-4)(t-8) = 0$ より、$t = 4, 8$

したがって、$a=4, b=8$ または $a=8, b=4$

長い方の辺の長さは 8 cm。

(6)

長方形の縦の長さを $a$ cm、横の長さを $b$ cmとする。

$2(a+b) = 18$ より、$a+b = 9$

$ab = 18$

$a$ と $b$ は、$t^2 - 9t + 18 = 0$ の解である。

$(t-3)(t-6) = 0$ より、$t = 3, 6$

したがって、$a=3, b=6$ または $a=6, b=3$

対角線の長さは $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ cm。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 7

(3) 4

(4) -6

(5) 8

(6) $3\sqrt{5}$