関数 $f(x) = 4 \sin^3(x) \cos(x)$ を積分し、与えられた選択肢の中から正しいものを選びます。積分定数は省略されています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4 \sin^3(x) \cos(x)$ を積分し、与えられた選択肢の中から正しいものを選びます。積分定数は省略されています。

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分を使って解くことができます。

$u = \sin(x)$ と置くと、$du = \cos(x) dx$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int 4 \sin^3(x) \cos(x) dx = \int 4u^3 du$

$4u^3$ の積分は $u^4$ です。 したがって、

$\int 4u^3 du = u^4 + C$

$u = \sin(x)$ を代入すると、

$u^4 + C = \sin^4(x) + C$

与えられた選択肢の中で、$\sin^4(x)$ に最も近いものを選びます。

3. 最終的な答え

$\sin^4 x$