問題1は、540の正の約数の個数と、それらの総和を求める問題です。 問題2は、大、中、小の3つのサイコロを投げたとき、出た目の積が4の倍数になる場合の数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題1は、540の正の約数の個数と、それらの総和を求める問題です。

問題2は、大、中、小の3つのサイコロを投げたとき、出た目の積が4の倍数になる場合の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

**問題1：540の約数の個数と和**

* 540を素因数分解します。

$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5^1$

* 約数の個数は、各素因数の指数に1を加えて掛け合わせたものです。

約数の個数 = $(2+1) \times (3+1) \times (1+1) = 3 \times 4 \times 2 = 24$

* 約数の総和は、各素因数について、0乗からその指数までの和を計算し、それらを掛け合わせたものです。

約数の総和 = $(2^0 + 2^1 + 2^2) \times (3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3) \times (5^0 + 5^1)$

= $(1 + 2 + 4) \times (1 + 3 + 9 + 27) \times (1 + 5)$

= $7 \times 40 \times 6 = 1680$

**問題2：3つのサイコロの積が4の倍数になる場合**

3つのサイコロの目の積が4の倍数になるのは、少なくとも2つが偶数であるか、少なくとも1つが4の倍数（4）の場合です。

* 全体の目の出方は $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りです。

* 目の積が4の倍数にならない場合を考えます。

* 3つとも奇数の場合：$3 \times 3 \times 3 = 27$ 通り。

* 奇数が2つ、2のみが1つの場合：$3 \times 3 \times 1 \times 3 = 27$通り（2を出すサイコロの選び方が3通り）。

* 目の積が4の倍数になる場合は、全体の出方から、4の倍数にならない場合を引けば求められます。

$216 - 27 - 27 = 162$

3. 最終的な答え

**問題1:**

約数の個数：24個

約数の総和：1680

**問題2:**

目の積が4の倍数になる場合の数：162通り