0, 1, 2, 3, 4, 5の6個の数字から異なる数字を選んで整数を作るとき、以下の問いに答える。 (1) 4桁の整数は何個できるか。 (2) 4桁の奇数は何個できるか。 (3) 4桁の偶数は何個できるか。 (4) 4桁の5の倍数は何個できるか。 (5) 320より大きい3桁の整数は何個できるか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5の6個の数字から異なる数字を選んで整数を作るとき、以下の問いに答える。

(1) 4桁の整数は何個できるか。

(2) 4桁の奇数は何個できるか。

(3) 4桁の偶数は何個できるか。

(4) 4桁の5の倍数は何個できるか。

(5) 320より大きい3桁の整数は何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数

4桁の整数の千の位は0以外の数字である必要がある。つまり、千の位に使える数字は1, 2, 3, 4, 5の5通り。

百の位は千の位で使用した数字以外の5通り。

十の位は千の位と百の位で使用した数字以外の4通り。

一の位は千の位、百の位、十の位で使用した数字以外の3通り。

よって、4桁の整数の個数は $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$個。

(2) 4桁の奇数

一の位が奇数である必要がある。一の位に使える数字は1, 3, 5の3通り。

千の位は0と一の位で使用した数字以外の4通り。

百の位は千の位と一の位で使用した数字以外の4通り。

十の位は千の位、百の位、一の位で使用した数字以外の3通り。

よって、4桁の奇数の個数は $4 \times 4 \times 3 \times 3 = 144$個。

(3) 4桁の偶数

4桁の整数は300個、4桁の奇数は144個であるから、4桁の偶数の個数は $300 - 144 = 156$個。

(4) 4桁の5の倍数

一の位が0または5である必要がある。

(i) 一の位が0の場合

千の位は0以外の5通り。

百の位は千の位と一の位で使用した数字以外の4通り。

十の位は千の位、百の位、一の位で使用した数字以外の3通り。

よって、この場合は$5 \times 4 \times 3 = 60$個。

(ii) 一の位が5の場合

千の位は0と5以外の4通り。

百の位は千の位と一の位で使用した数字以外の4通り。

十の位は千の位、百の位、一の位で使用した数字以外の3通り。

よって、この場合は$4 \times 4 \times 3 = 48$個。

したがって、4桁の5の倍数の個数は $60 + 48 = 108$個。

(5) 320より大きい3桁の整数

百の位が3の場合、十の位は2, 4, 5のいずれかである必要がある。

(i) 百の位が3, 十の位が2の場合、一の位は0, 1, 4, 5の4通り。

(ii) 百の位が3, 十の位が4の場合、一の位は0, 1, 2, 5の4通り。

(iii) 百の位が3, 十の位が5の場合、一の位は0, 1, 2, 4の4通り。

百の位が4の場合、十の位は0, 1, 2, 3, 5の5通り。一の位は残りの4通り。よって$5 \times 4 = 20$通り。

百の位が5の場合、十の位は0, 1, 2, 3, 4の5通り。一の位は残りの4通り。よって$5 \times 4 = 20$通り。

したがって、320より大きい3桁の整数の個数は $4 + 4 + 4 + 20 + 20 = 52$個。

3. 最終的な答え

(1) 300個

(2) 144個

(3) 156個

(4) 108個

(5) 52個