与えられた2つの極限値を求めます。 1つ目の極限は $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x^3 - 1}$ です。 2つ目の極限は $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x}$ です。

1. 問題の内容

与えられた2つの極限値を求めます。

1つ目の極限は $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x^3 - 1}$ です。

2つ目の極限は $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x}$ です。

2. 解き方の手順

1つ目の極限 $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x^3 - 1}$ について:

$x$ が $1$ に近づくと、$x^3$ も $1$ に近づき、$x^3 - 1$ は $0$ に近づきます。

$x$ が $1$ より大きい値から $1$ に近づく場合、$x^3 - 1$ は正の値から $0$ に近づくので、$\frac{1}{x^3 - 1}$ は正の無限大に発散します。

$x$ が $1$ より小さい値から $1$ に近づく場合、$x^3 - 1$ は負の値から $0$ に近づくので、$\frac{1}{x^3 - 1}$ は負の無限大に発散します。

したがって、この極限は存在しません。

2つ目の極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x}$ について:

$-1 \leq \sin 3x \leq 1$ であることを利用します。

$x > 0$ の場合、

$-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin 3x}{x} \leq \frac{1}{x}$

となります。

$\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x} = 0$ であり、$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ であるため、挟みうちの原理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x} = 0$

となります。

3. 最終的な答え

1つ目の極限 $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x^3 - 1}$ は存在しません。

2つ目の極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x}$ は $0$ です。