以下の4つの定積分を求める問題です。 (1) $\int_0^{2\pi} \frac{1}{\cos\theta - 2} d\theta$ (2) $\int_0^{2\pi} \frac{1}{5 + 3\sin\theta} d\theta$ (3) $\int_0^{2\pi} \frac{1}{5 - 4\cos\theta} d\theta$ (4) $\int_0^{2\pi} \frac{1}{(\cos\theta + 2)^2} d\theta$

1. 問題の内容

以下の4つの定積分を求める問題です。

(1) $\int_0^{2\pi} \frac{1}{\cos\theta - 2} d\theta$

(2) $\int_0^{2\pi} \frac{1}{5 + 3\sin\theta} d\theta$

(3) $\int_0^{2\pi} \frac{1}{5 - 4\cos\theta} d\theta$

(4) $\int_0^{2\pi} \frac{1}{(\cos\theta + 2)^2} d\theta$

2. 解き方の手順

これらの定積分は、一般的に複素積分を用いて計算します。具体的には、$z = e^{i\theta}$ という変数変換を行い、単位円上の積分に帰着させます。このとき、$dz = ie^{i\theta}d\theta = izd\theta$より、$d\theta = \frac{dz}{iz}$となります。また、$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}$、$\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} = \frac{z - z^{-1}}{2i}$となります。

(1) の場合：

$I_1 = \int_0^{2\pi} \frac{1}{\cos\theta - 2} d\theta = \oint_{|z|=1} \frac{1}{\frac{z + z^{-1}}{2} - 2} \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{2}{z^2 - 4z + 1} \frac{dz}{i}$

$z^2 - 4z + 1 = 0$ の解は、$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$。 $|z|=1$ の内部にあるのは $z = 2 - \sqrt{3}$のみ。

$I_1 = \frac{2}{i} \oint_{|z|=1} \frac{1}{(z - (2 - \sqrt{3}))(z - (2 + \sqrt{3}))} dz = \frac{2}{i} 2\pi i \frac{1}{(2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3})} = 4\pi \frac{1}{-2\sqrt{3}} = -\frac{2\pi}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}\pi}{3}$

ここで留数定理を用いた。

(2) の場合：

$I_2 = \int_0^{2\pi} \frac{1}{5 + 3\sin\theta} d\theta = \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 3\frac{z - z^{-1}}{2i}} \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{2}{10i + 3z - 3z^{-1}} \frac{dz}{z} = \oint_{|z|=1} \frac{2}{3z^2 + 10iz - 3} dz$

$3z^2 + 10iz - 3 = 0$ の解は、$z = \frac{-10i \pm \sqrt{-100 + 36}}{6} = \frac{-10i \pm 8i}{6} = -\frac{i}{3}, -3i$。 $|z|=1$ の内部にあるのは $z = -\frac{i}{3}$ のみ。

$I_2 = \oint_{|z|=1} \frac{2}{3(z + \frac{i}{3})(z + 3i)} dz = 2 \times 2\pi i \frac{2}{3(z + 3i)}\Big|_{z = -\frac{i}{3}} = \frac{4\pi i}{3} \frac{1}{-\frac{i}{3} + 3i} = \frac{4\pi i}{3} \frac{1}{\frac{8i}{3}} = \frac{4\pi i}{8i} = \frac{\pi}{2}$

(3) の場合：

$I_3 = \int_0^{2\pi} \frac{1}{5 - 4\cos\theta} d\theta = \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 - 4(\frac{z + z^{-1}}{2})} \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 - 2(z + z^{-1})} \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 - 2z - 2z^{-1}} \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{1}{5z - 2z^2 - 2} \frac{dz}{i} = \frac{1}{i} \oint_{|z|=1} \frac{-1}{2z^2 - 5z + 2} dz$

$2z^2 - 5z + 2 = 0$ の解は、$z = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} = 2, \frac{1}{2}$。 $|z|=1$ の内部にあるのは $z = \frac{1}{2}$ のみ。

$I_3 = \frac{-1}{i} \oint_{|z|=1} \frac{1}{2(z - 2)(z - \frac{1}{2})} dz = \frac{-1}{i} 2\pi i \frac{1}{2(\frac{1}{2} - 2)} = -2\pi \frac{1}{2(-\frac{3}{2})} = -2\pi \frac{1}{-3} = \frac{2\pi}{3}$

(4) の場合：

$I_4 = \int_0^{2\pi} \frac{1}{(\cos\theta + 2)^2} d\theta = \oint_{|z|=1} \frac{1}{(\frac{z + z^{-1}}{2} + 2)^2} \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{4}{(z + z^{-1} + 4)^2} \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{4z^2}{(z^2 + 4z + 1)^2} \frac{dz}{iz^3} = \frac{4}{i}\oint_{|z|=1} \frac{z}{(z^2 + 4z + 1)^2} dz$

$z^2 + 4z + 1 = 0$ の解は、$z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$。 $|z|=1$ の内部にあるのは $z = -2 + \sqrt{3}$のみ。

$I_4 = \frac{4}{i} \oint_{|z|=1} \frac{z}{(z - (-2+\sqrt{3}))^2(z - (-2-\sqrt{3}))^2}dz$. この場合、留数は2位の極であるため、通常の留数定理の計算に加え、1階微分が必要になります。

$f(z) = \frac{z}{(z + 2 + \sqrt{3})^2}$.

$\text{Res} = f'(-2 + \sqrt{3}) = \frac{(z + 2 + \sqrt{3})^2 - 2z(z + 2 + \sqrt{3})}{(z + 2 + \sqrt{3})^4}|_{z = -2 + \sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3})^2 - 2(-2+\sqrt{3})(2\sqrt{3})}{(2\sqrt{3})^4} = \frac{12 - (-4 + 2\sqrt{3})(2\sqrt{3})}{144} = \frac{12 + 8\sqrt{3}-12}{144} = \frac{8\sqrt{3}}{144} = \frac{\sqrt{3}}{18}$

$I_4 = \frac{4}{i} (2\pi i) \frac{\sqrt{3}}{18} = \frac{8\pi \sqrt{3}}{18} = \frac{4\pi\sqrt{3}}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{2\sqrt{3}\pi}{3}$

(2) $\frac{\pi}{2}$

(3) $\frac{2\pi}{3}$

(4) $\frac{4\pi\sqrt{3}}{9}$