区間 $[-1, 1]$ で定義された関数 $f(x) = |\arcsin x| - 2x\sqrt{1-x^2}$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ が区間 $[-1, 1]$ で連続であることを示す。 (2) $f(x)$ の区間 $[-1, 1]$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

区間 $[-1, 1]$ で定義された関数 $f(x) = |\arcsin x| - 2x\sqrt{1-x^2}$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ が区間 $[-1, 1]$ で連続であることを示す。

(2) $f(x)$ の区間 $[-1, 1]$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 連続性を示す。

$\arcsin x$ は $[-1, 1]$ で連続であり、$|\arcsin x|$ も連続である。

$\sqrt{1-x^2}$ は $[-1, 1]$ で連続であり、$2x\sqrt{1-x^2}$ も連続である。

連続な関数の和、差、絶対値は連続であるから、$f(x) = |\arcsin x| - 2x\sqrt{1-x^2}$ は $[-1, 1]$ で連続である。

(2) 最大値、最小値を求める。

$f(x)$ は $[-1, 1]$ で連続なので、最大値と最小値を持つ。

まず、区間の端点における値を計算する。

$f(-1) = |\arcsin(-1)| - 2(-1)\sqrt{1-(-1)^2} = |\frac{-\pi}{2}| - 0 = \frac{\pi}{2}$

$f(1) = |\arcsin(1)| - 2(1)\sqrt{1-1^2} = |\frac{\pi}{2}| - 0 = \frac{\pi}{2}$

次に、区間 $(-1, 1)$ での $f(x)$ の微分を計算する。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(|\arcsin x|) - \frac{d}{dx}(2x\sqrt{1-x^2})$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \text{sgn}(\arcsin x) - 2\sqrt{1-x^2} + 2x\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = \frac{\text{sgn}(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^2}} - 2\sqrt{1-x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = \frac{\text{sgn}(\arcsin x) - 2(1-x^2) - 2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = \frac{\text{sgn}(\arcsin x) - 2}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = 0$ となるのは $\text{sgn}(\arcsin x) = 2$ のときだが、$\text{sgn}(\arcsin x)$ は $1, 0, -1$ のいずれかの値しか取らないので、$f'(x) = 0$ となる $x$ は存在しない。

ただし、$x=0$ で $\arcsin x=0$ なので場合分けが必要である。

$x > 0$ で $f'(x) = \frac{1-2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} < 0$

$x < 0$ で $f'(x) = \frac{-1-2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-3}{\sqrt{1-x^2}} < 0$

$f(0) = |\arcsin 0| - 2(0)\sqrt{1-0^2} = 0$

$f(x)$ は $x=0$ で連続だが微分可能ではない。したがって $f(x)$ は単調減少である。

したがって、最大値は $\frac{\pi}{2}$ (at $x=\pm 1$) であり、最小値は $0$ (at $x=0$) である。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{\pi}{2}$

最小値: $0$