## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた2つの極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} (1 + x + x^2)^{1/x}$

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2. 解き方の手順

**(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x}$**

- $\sin 3x$ は $-1$ から $1$ の間の値を取る関数です。

- $x$ が無限大に近づくとき、$\frac{\sin 3x}{x}$ は $\frac{\text{有限値}}{無限大}$ の形になります。

- このタイプの極限は $0$ に収束します。

**(2) $\lim_{x \to 0} (1 + x + x^2)^{1/x}$**

- この極限は不定形 $1^\infty$ の形をしています。

- $y = (1 + x + x^2)^{1/x}$ とおき、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \frac{1}{x} \ln(1 + x + x^2)$

- 極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x + x^2)}{x}$

- この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x + x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + 2x}{1 + x + x^2}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + 2x}{1 + x + x^2}$

- $x \to 0$ を代入すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 + 2x}{1 + x + x^2} = \frac{1 + 2(0)}{1 + 0 + 0^2} = \frac{1}{1} = 1$

- $\lim_{x \to 0} \ln y = 1$ であるから、$\lim_{x \to 0} y = e^1 = e$

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3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x} = 0$

(2) $\lim_{x \to 0} (1 + x + x^2)^{1/x} = e$