与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to 0} (1 + x + x^2)^{\frac{1}{x}} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to 0} (1 + x + x^2)^{\frac{1}{x}}$$

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $1^\infty$ の形をしています。したがって、$y = (1 + x + x^2)^{\frac{1}{x}}$ とおき、両辺の自然対数を取ります。

$$\ln y = \ln (1 + x + x^2)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \ln (1 + x + x^2)$$

次に、$\lim_{x \to 0} \ln y$ を計算します。

$$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x + x^2)}{x}$$

これは不定形 $\frac{0}{0}$ の形なので、ロピタルの定理を使います。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x + x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + 2x}{1 + x + x^2}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + 2x}{1 + x + x^2}$$

$x \to 0$ のとき、$1 + 2x \to 1$ かつ $1 + x + x^2 \to 1$ なので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 + 2x}{1 + x + x^2} = \frac{1}{1} = 1$$

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \ln y = 1$$

ゆえに、

$$\lim_{x \to 0} y = e^1 = e$$

3. 最終的な答え

$$\lim_{x \to 0} (1 + x + x^2)^{\frac{1}{x}} = e$$