不等式 $\sqrt{2}\cos(2x-\frac{\pi}{4}) \geq 1$ を $0 \leq x \leq \pi$ の範囲で解く。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{2}\cos(2x-\frac{\pi}{4}) \geq 1$ を $0 \leq x \leq \pi$ の範囲で解く。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺を $\sqrt{2}$ で割ります。

$\cos(2x-\frac{\pi}{4}) \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

次に、$2x-\frac{\pi}{4} = \theta$ と置きます。

このとき、元の不等式は $\cos\theta \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。

$0 \leq x \leq \pi$ より、

$0 \leq 2x \leq 2\pi$

$-\frac{\pi}{4} \leq 2x - \frac{\pi}{4} \leq 2\pi - \frac{\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{7\pi}{4}$

$\cos\theta \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ の範囲は、

$-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ または $\frac{7\pi}{4} \geq \theta \geq \frac{7\pi}{4} - 2\pi = -\frac{\pi}{4}$なので

$-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$, $\frac{7\pi}{4} \ge \theta \ge \frac{7}{4}\pi$

$\theta = 2x - \frac{\pi}{4}$ を代入して、

$-\frac{\pi}{4} \leq 2x - \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{4} \leq 2x \leq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}$

$0 \leq 2x \leq \frac{\pi}{2}$

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$

$\frac{7\pi}{4} \geq 2x - \frac{\pi}{4} \geq \frac{7\pi}{4}$は、

$-\frac{\pi}{4} \geq 2x-\frac{\pi}{4}\geq -\frac{\pi}{4} -2\pi$

$-\frac{\pi}{4} \geq 2x-\frac{\pi}{4} \geq -\frac{9}{4}\pi$

$\pi \ge x \ge 0$に矛盾する。

したがって、求める範囲は $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$