与えられた4つの関数を微分せよ。すべての関数は対数関数を含んでいます。 (1) $y = \log \frac{(x+1)^2}{(x-1)^3}$ (2) $y = \log \frac{(x+1)^2}{x(x-1)}$ (3) $y = \log (x^4\sqrt{x^3+1})$ (4) $y = \log (\sqrt[3]{x^2} + \sqrt{x^3})$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を微分せよ。すべての関数は対数関数を含んでいます。

(1) $y = \log \frac{(x+1)^2}{(x-1)^3}$

(2) $y = \log \frac{(x+1)^2}{x(x-1)}$

(3) $y = \log (x^4\sqrt{x^3+1})$

(4) $y = \log (\sqrt[3]{x^2} + \sqrt{x^3})$

2. 解き方の手順

対数関数の微分を行う前に、対数の性質を使って関数を簡単化すると計算が楽になります。対数の性質は以下の通りです。

$\log \frac{A}{B} = \log A - \log B$

$\log AB = \log A + \log B$

$\log A^n = n \log A$

対数関数の微分公式は以下の通りです。

$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$

合成関数の微分を行う必要があります。

(1) $y = \log \frac{(x+1)^2}{(x-1)^3} = \log (x+1)^2 - \log (x-1)^3 = 2 \log (x+1) - 3 \log (x-1)$

$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{x+1} - 3 \cdot \frac{1}{x-1} = \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) - 3(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x-2-3x-3}{x^2-1} = \frac{-x-5}{x^2-1} = -\frac{x+5}{x^2-1}$

(2) $y = \log \frac{(x+1)^2}{x(x-1)} = \log (x+1)^2 - \log x(x-1) = 2 \log (x+1) - (\log x + \log (x-1)) = 2 \log (x+1) - \log x - \log (x-1)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} = \frac{2x(x-1) - (x+1)(x-1) - x(x+1)}{x(x+1)(x-1)} = \frac{2x^2-2x - (x^2-1) - (x^2+x)}{x(x^2-1)} = \frac{2x^2-2x - x^2+1 - x^2-x}{x(x^2-1)} = \frac{-3x+1}{x(x^2-1)} = \frac{1-3x}{x(x^2-1)}$

(3) $y = \log (x^4\sqrt{x^3+1}) = \log x^4 + \log \sqrt{x^3+1} = 4 \log x + \frac{1}{2} \log (x^3+1)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3x^2}{x^3+1} = \frac{4}{x} + \frac{3x^2}{2(x^3+1)} = \frac{8(x^3+1) + 3x^3}{2x(x^3+1)} = \frac{8x^3+8+3x^3}{2x(x^3+1)} = \frac{11x^3+8}{2x(x^3+1)}$

(4) $y = \log (\sqrt[3]{x^2} + \sqrt{x^3}) = \log (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2}})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{3\sqrt[3]{x}} + \frac{3\sqrt{x}}{2}}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt{x^3}} = \frac{\frac{4 + 9x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}}{6x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2}}} = \frac{4+9x^{\frac{5}{6}}}{6x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{3}{2}})} = \frac{4+9x^{\frac{5}{6}}}{6(x+x^{\frac{11}{6}})}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+5}{x^2-1}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1-3x}{x(x^2-1)}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{11x^3+8}{2x(x^3+1)}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{4+9x^{\frac{5}{6}}}{6(x+x^{\frac{11}{6}})}$