$\int \arcsin x \, dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int \arcsin x \, dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

ここでは、

$u = \arcsin x$

$dv = dx$

と置きます。すると、

$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

$v = x$

となります。

部分積分の公式に代入すると、

$\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

となります。

次に、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ を計算します。

$t = 1 - x^2$ と置換すると、$dt = -2x \, dx$ より $x \, dx = -\frac{1}{2} dt$ となります。

したがって、

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} (-\frac{1}{2}) \, dt = -\frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} \, dt = -\frac{1}{2} \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

となります。

これを用いて、元の積分を計算すると

$\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x - (-\sqrt{1-x^2}) + C = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$

となります。

3. 最終的な答え

$x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$