次の関数を対数微分法で微分してください。ただし、$x > 0$とします。 (1) $y = (2x)^x$ (2) $y = x^{\sin x}$

1. 問題の内容

次の関数を対数微分法で微分してください。ただし、$x > 0$とします。

(1) $y = (2x)^x$

(2) $y = x^{\sin x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (2x)^x$

対数微分法を用いるため、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln((2x)^x)$

$\ln y = x \ln(2x)$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(2x) + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(2x) + 1$

$\frac{dy}{dx} = y(\ln(2x) + 1)$

$y = (2x)^x$を代入して、

$\frac{dy}{dx} = (2x)^x (\ln(2x) + 1)$

(2) $y = x^{\sin x}$

対数微分法を用いるため、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln(x^{\sin x})$

$\ln y = (\sin x) \ln x$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\cos x) \ln x + (\sin x) \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( (\cos x) \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

$y = x^{\sin x}$を代入して、

$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( (\cos x) \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = (2x)^x (\ln(2x) + 1)$

(2) $\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( (\cos x) \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$