与えられた積分を計算します。 積分は $\int e^{ax} \cos(bx) dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

積分は $\int e^{ax} \cos(bx) dx$ です。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用います。

まず、$u = e^{ax}$、$dv = \cos(bx) dx$ とおくと、$du = a e^{ax} dx$、$v = \frac{1}{b} \sin(bx)$ となります。部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を使うと、

$$\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{1}{b} e^{ax} \sin(bx) - \int \frac{1}{b} \sin(bx) a e^{ax} dx$$

$$= \frac{1}{b} e^{ax} \sin(bx) - \frac{a}{b} \int e^{ax} \sin(bx) dx$$

次に、$\int e^{ax} \sin(bx) dx$ を部分積分で計算します。$u = e^{ax}$、$dv = \sin(bx) dx$ とおくと、$du = a e^{ax} dx$、$v = -\frac{1}{b} \cos(bx)$ となります。再び部分積分の公式を使うと、

$$\int e^{ax} \sin(bx) dx = -\frac{1}{b} e^{ax} \cos(bx) - \int -\frac{1}{b} \cos(bx) a e^{ax} dx$$

$$= -\frac{1}{b} e^{ax} \cos(bx) + \frac{a}{b} \int e^{ax} \cos(bx) dx$$

これを最初の式に代入します。

$$\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{1}{b} e^{ax} \sin(bx) - \frac{a}{b} \left( -\frac{1}{b} e^{ax} \cos(bx) + \frac{a}{b} \int e^{ax} \cos(bx) dx \right)$$

$$\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{1}{b} e^{ax} \sin(bx) + \frac{a}{b^2} e^{ax} \cos(bx) - \frac{a^2}{b^2} \int e^{ax} \cos(bx) dx$$

ここで、$I = \int e^{ax} \cos(bx) dx$ とおくと、

$$I = \frac{1}{b} e^{ax} \sin(bx) + \frac{a}{b^2} e^{ax} \cos(bx) - \frac{a^2}{b^2} I$$

$$I + \frac{a^2}{b^2} I = \frac{1}{b} e^{ax} \sin(bx) + \frac{a}{b^2} e^{ax} \cos(bx)$$

$$\frac{b^2 + a^2}{b^2} I = \frac{1}{b} e^{ax} \sin(bx) + \frac{a}{b^2} e^{ax} \cos(bx)$$

$$I = \frac{b^2}{b^2 + a^2} \left( \frac{1}{b} e^{ax} \sin(bx) + \frac{a}{b^2} e^{ax} \cos(bx) \right)$$

$$I = \frac{b}{b^2 + a^2} e^{ax} \sin(bx) + \frac{a}{b^2 + a^2} e^{ax} \cos(bx)$$

$$I = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C$$

3. 最終的な答え

$\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C$