次の関数を微分する問題です。 (1) $y = \sin^4 3x$ (2) $y = \tan^3 2x$ (3) $y = e^{x^3} \sin 2x$ (4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $y = \sin^4 3x$

(2) $y = \tan^3 2x$

(3) $y = e^{x^3} \sin 2x$

(4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^4 3x$ の微分

合成関数の微分を行います。

$y' = 4(\sin 3x)^3 \cdot (\sin 3x)' = 4\sin^3 3x \cdot (\cos 3x) \cdot (3x)' = 4\sin^3 3x \cdot \cos 3x \cdot 3$

$y' = 12\sin^3 3x \cos 3x$

(2) $y = \tan^3 2x$ の微分

合成関数の微分を行います。

$y' = 3(\tan 2x)^2 \cdot (\tan 2x)' = 3\tan^2 2x \cdot \frac{1}{\cos^2 2x} \cdot (2x)' = 3\tan^2 2x \cdot \frac{1}{\cos^2 2x} \cdot 2$

$y' = \frac{6\tan^2 2x}{\cos^2 2x}$

(3) $y = e^{x^3} \sin 2x$ の微分

積の微分と合成関数の微分を行います。

$y' = (e^{x^3})' \sin 2x + e^{x^3} (\sin 2x)' = e^{x^3} (x^3)' \sin 2x + e^{x^3} \cos 2x (2x)' = e^{x^3} (3x^2) \sin 2x + e^{x^3} \cos 2x \cdot 2$

$y' = 3x^2 e^{x^3} \sin 2x + 2e^{x^3} \cos 2x$

$y' = e^{x^3}(3x^2 \sin 2x + 2 \cos 2x)$

(4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$ の微分

合成関数の微分を行います。

$y' = 3\{\log(x^2 + 1)\}^2 \cdot (\log(x^2 + 1))' = 3\{\log(x^2 + 1)\}^2 \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (x^2 + 1)' = 3\{\log(x^2 + 1)\}^2 \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x$

$y' = \frac{6x\{\log(x^2 + 1)\}^2}{x^2 + 1}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 12\sin^3 3x \cos 3x$

(2) $y' = \frac{6\tan^2 2x}{\cos^2 2x}$

(3) $y' = e^{x^3}(3x^2 \sin 2x + 2 \cos 2x)$

(4) $y' = \frac{6x\{\log(x^2 + 1)\}^2}{x^2 + 1}$