不等式 $\sqrt{2} \cos(2x - \frac{\pi}{4}) \geq 1$ を $0 \leq x \leq \pi$ の範囲で解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{2} \cos(2x - \frac{\pi}{4}) \geq 1$ を $0 \leq x \leq \pi$ の範囲で解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理します。

$\sqrt{2} \cos(2x - \frac{\pi}{4}) \geq 1$

両辺を $\sqrt{2}$ で割ると、

$\cos(2x - \frac{\pi}{4}) \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

ここで、$t = 2x - \frac{\pi}{4}$ とおくと、不等式は

$\cos(t) \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x$ の範囲が $0 \leq x \leq \pi$ なので、$t$ の範囲を求めます。

$t = 2x - \frac{\pi}{4}$

$0 \leq x \leq \pi$ に 2 をかけると

$0 \leq 2x \leq 2\pi$

各辺から $\frac{\pi}{4}$ を引くと

$-\frac{\pi}{4} \leq 2x - \frac{\pi}{4} \leq 2\pi - \frac{\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{7\pi}{4}$

$\cos(t) \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $t$ の範囲は、

$-\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{\pi}{4}$ または $\frac{7\pi}{4} \geq t \geq \frac{7\pi}{4}$

これを整理して

$-\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{\pi}{4}$ または $\frac{7\pi}{4} \leq t \leq \frac{9\pi}{4}$　（ただし、$t$ の範囲から $\frac{7\pi}{4} \leq t \leq \frac{9\pi}{4}$は、$t \leq \frac{7\pi}{4}$なので$\frac{7\pi}{4}$のみ）

$t$ を $2x - \frac{\pi}{4}$ に戻すと、

$-\frac{\pi}{4} \leq 2x - \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4}$

各辺に $\frac{\pi}{4}$ を足すと、

$0 \leq 2x \leq \frac{\pi}{2}$

各辺を 2 で割ると、

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$