関数 $f(x) = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}$ が与えられている。$y = f(x)$ の逆関数を $y = g(x)$ とする。このとき、2つの曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}$ が与えられている。$y = f(x)$ の逆関数を $y = g(x)$ とする。このとき、2つの曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y=f(x)$ と $y=g(x)$ の交点を求める。$y = f(x)$ の逆関数が $y = g(x)$ であることから、$y = f(x)$ と $y = g(x)$ のグラフは直線 $y = x$ に関して対称である。したがって、$y = f(x)$ と $y = g(x)$ の交点は、$y = f(x)$ と $y = x$ の交点に一致する。

$f(x) = x$ より、

$\frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{3} = x$

$\frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{3} = 0$

$x^3 - 3x - 2 = 0$

$(x + 1)^2(x - 2) = 0$

$x = -1, 2$

交点は $(-1, -1)$ と $(2, 2)$ である。

$y=f(x)$ と $y=g(x)$ で囲まれた部分の面積 $S$ は、

$S = \int_{-1}^{2} (g(x) - f(x)) dx$

$= \int_{-1}^{2} (f^{-1}(x) - f(x)) dx$

ここで、$y=x$ に関して対称なので、

$S = 2 \int_{-1}^{2} (x - f(x)) dx$

$= 2 \int_{-1}^{2} (x - (\frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{3})) dx$

$= 2 \int_{-1}^{2} (-\frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}) dx$

$= 2 [-\frac{1}{24}x^4 + \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{3}x]_{-1}^{2}$

$= 2 [(-\frac{16}{24} + \frac{4}{4} + \frac{2}{3}) - (-\frac{1}{24} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3})]$

$= 2 [(-\frac{2}{3} + 1 + \frac{2}{3}) - (-\frac{1}{24} + \frac{6}{24} - \frac{8}{24})]$

$= 2 [1 - (-\frac{3}{24})]$

$= 2 [1 + \frac{1}{8}]$

$= 2 \cdot \frac{9}{8}$

$= \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{4}$