与えられた関数を対数微分法を用いて微分する問題です。今回は(1) $y = (2x)^x$ を扱います。ただし、$x > 0$ とします。

1. 問題の内容

与えられた関数を対数微分法を用いて微分する問題です。今回は(1) $y = (2x)^x$ を扱います。ただし、$x > 0$ とします。

2. 解き方の手順

対数微分法の手順は以下の通りです。

1. 両辺の自然対数をとる。

2. 両辺を $x$ で微分する。

3. $\frac{dy}{dx}$ について解く。

まず、$y = (2x)^x$ の両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln (2x)^x$

$\ln y = x \ln (2x)$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分、右辺は積の微分を用いることに注意してください。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln (2x) + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln (2x) + 1$

最後に、$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$\frac{dy}{dx} = y (\ln (2x) + 1)$

$\frac{dy}{dx} = (2x)^x (\ln (2x) + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (2x)^x (\ln (2x) + 1)$