与えられた関数を微分する問題です。ただし、$x > 0$とします。 (1) $y = (x - 1)\sqrt{x}$ (2) $y = \frac{\sqrt{x}}{x + 2}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。ただし、$x > 0$とします。

(1) $y = (x - 1)\sqrt{x}$

(2) $y = \frac{\sqrt{x}}{x + 2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x - 1)\sqrt{x}$ の場合

まず、$y$ を展開します。

$y = x\sqrt{x} - \sqrt{x}$

$y = x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$

次に、微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x - 1}{2\sqrt{x}}$

(2) $y = \frac{\sqrt{x}}{x + 2}$ の場合

商の微分公式を使います。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ と $v = x + 2$ とおきます。

$u' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v' = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x + 2) - \sqrt{x}(1)}{(x + 2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{x + 2}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(x + 2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{x + 2 - 2x}{2\sqrt{x}}}{(x + 2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 - x}{2\sqrt{x}(x + 2)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x - 1}{2\sqrt{x}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{2 - x}{2\sqrt{x}(x + 2)^2}$