$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos 3\theta}{\theta^2}$ の極限値を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos 3\theta}{\theta^2}$ の極限値を求めます。

2. 解き方の手順

$1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$ という三角関数の恒等式を利用します。

この恒等式を使うと、問題の式は次のようになります。

$\lim_{\theta \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3\theta}{2}}{\theta^2}$

次に、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\sin^2 \frac{3\theta}{2}}{\theta^2}$ の形を $\left(\frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\frac{3\theta}{2}}\right)^2$ に近づけます。

$\lim_{\theta \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3\theta}{2}}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} 2 \cdot \frac{\sin^2 \frac{3\theta}{2}}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} 2 \cdot \frac{\sin^2 \frac{3\theta}{2}}{(\frac{3\theta}{2})^2} \cdot \frac{(\frac{3\theta}{2})^2}{\theta^2}$

$= \lim_{\theta \to 0} 2 \cdot \left( \frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\frac{3\theta}{2}}\right)^2 \cdot \frac{\frac{9\theta^2}{4}}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} 2 \cdot \left(\frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\frac{3\theta}{2}}\right)^2 \cdot \frac{9}{4}$

$\theta \to 0$ のとき $\frac{3\theta}{2} \to 0$ なので、$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\frac{3\theta}{2}} = 1$ となります。

したがって、

$\lim_{\theta \to 0} 2 \cdot \left(\frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\frac{3\theta}{2}}\right)^2 \cdot \frac{9}{4} = 2 \cdot 1^2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}$