この問題は2つの部分から構成されています。 (1) $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ の極限値を求める問題です。 (2) $n$ が奇数のとき、$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^{\ell}}{(2\ell+1)!}x^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{n\pi}{2}\right)}{n!}x^n$ ($0 < \theta < 1$) であるとき、$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求める問題です。

1. 問題の内容

この問題は2つの部分から構成されています。

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ の極限値を求める問題です。

(2) $n$ が奇数のとき、$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^{\ell}}{(2\ell+1)!}x^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{n\pi}{2}\right)}{n!}x^n$ ($0 < \theta < 1$) であるとき、$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 極限の計算

$\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}\right)$

ここで、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to +\infty$ のとき $t \to 0$ となります。よって、

$\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}\right) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log\left(\frac{1-t}{1+t}\right) = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t}$

ここで、$\log(1+x)$ のマクローリン展開 $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ を用いると、

$\lim_{t \to 0} \frac{( -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \dots) - (t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \dots)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-2t - \frac{2t^3}{3} - \dots}{t} = \lim_{t \to 0} (-2 - \frac{2t^2}{3} - \dots) = -2$

または、ロピタルの定理を用いると

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\frac{1}{1-t} - \frac{1}{1+t}}{1} = \lim_{t \to 0} \left( -\frac{1}{1-t} - \frac{1}{1+t} \right) = -1 - 1 = -2$

(2) $\sin \frac{1}{3}$ の計算

$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^{\ell}}{(2\ell+1)!}x^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{n\pi}{2}\right)}{n!}x^n$ を用いて $\sin \frac{1}{3}$ を計算します。

$x = \frac{1}{3}$ なので、

$\sin \frac{1}{3} = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^{\ell}}{(2\ell+1)!}\left(\frac{1}{3}\right)^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{n\pi}{2}\right)}{n!}\left(\frac{1}{3}\right)^n$

$n=3$ とすると、

$\sin \frac{1}{3} = \frac{(-1)^0}{(2\cdot0+1)!}\left(\frac{1}{3}\right)^{2\cdot0+1} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2}\right)}{3!}\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{3} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2}\right)}{6} \cdot \frac{1}{27} = \frac{1}{3} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2}\right)}{162}$

$n=5$ とすると、

$\sin \frac{1}{3} = \sum_{\ell=0}^{1} \frac{(-1)^{\ell}}{(2\ell+1)!}\left(\frac{1}{3}\right)^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{5!}\left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{3} - \frac{1}{3!(3^3)} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{120} \cdot \frac{1}{243} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{29160} \approx 0.32716 + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{29160}$

$\sin(1/3)$ の近似値は0.32719です。n=5のとき、$\frac{1}{3} - \frac{1}{162} = 0.32716$となり、小数点第4位まで求めるにはn=5で十分です。

$\sin(\frac{1}{3}) \approx 0.3272$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = -2$

(2) $\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$