与えられた関数の指定された点における近似値を、一次近似を使って求めます。具体的には、 (1) $\ln 1.2$ (2) $\tan 0.3$ (3) $\sqrt[3]{30}$ の近似値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数の指定された点における近似値を、一次近似を使って求めます。具体的には、

(1) $\ln 1.2$

(2) $\tan 0.3$

(3) $\sqrt[3]{30}$

の近似値を求めます。

2. 解き方の手順

一次近似とは、$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$ という式で、ある点 $a$ の近くで関数 $f(x)$ を直線で近似することです。

(1) $f(x) = \ln x$ の場合、$a=1$ とすると、$f(1) = \ln 1 = 0$ です。また、$f'(x) = \frac{1}{x}$ なので、$f'(1) = 1$ となります。

したがって、$\ln x \approx 0 + 1(x-1) = x-1$ と近似できます。

これを用いて、$\ln 1.2 \approx 1.2 - 1 = 0.2$ となります。

(2) $f(x) = \tan x$ の場合、$a=0$ とすると、$f(0) = \tan 0 = 0$ です。また、$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ なので、$f'(0) = \frac{1}{\cos^2 0} = 1$ となります。

したがって、$\tan x \approx 0 + 1(x-0) = x$ と近似できます。

これを用いて、$\tan 0.3 \approx 0.3$ となります。

(3) $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ の場合、$a=27$ とすると、$f(27) = \sqrt[3]{27} = 3$ です。また、$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$ なので、$f'(27) = \frac{1}{3}(27)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{27}$ となります。

したがって、$\sqrt[3]{x} \approx 3 + \frac{1}{27}(x-27)$ と近似できます。

これを用いて、$\sqrt[3]{30} \approx 3 + \frac{1}{27}(30-27) = 3 + \frac{3}{27} = 3 + \frac{1}{9} = \frac{28}{9} \approx 3.111$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\ln 1.2 \approx 0.2$

(2) $\tan 0.3 \approx 0.3$

(3) $\sqrt[3]{30} \approx \frac{28}{9}$