与えられた2つの極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$ (2) $\lim_{x \to \infty} x^2 (1 - \cos(\frac{1}{x}))$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$

(2) $\lim_{x \to \infty} x^2 (1 - \cos(\frac{1}{x}))$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

まず、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(e^x - e^{-x}) = e^x + e^{-x}$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x}$

$x \to 0$ のとき、$e^x \to 1$, $e^{-x} \to 1$, $\cos x \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{1 + 1}{1} = 2$

別の解法としては、

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + ...$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - ...$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + ...$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x + ...) - (1 - x + ...)}{x - \frac{x^3}{3!} + ...} = \lim_{x \to 0} \frac{2x + O(x^3)}{x + O(x^3)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2$

(2) $\lim_{x \to \infty} x^2 (1 - \cos(\frac{1}{x}))$

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} x^2 (1 - \cos(\frac{1}{x})) = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2}$

$\cos t$ のマクローリン展開は $\cos t = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - ...$ なので、

$\lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1 - (1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - ...)}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{t^2}{2} - \frac{t^4}{24} + ...}{t^2} = \lim_{t \to 0} (\frac{1}{2} - \frac{t^2}{24} + ...) = \frac{1}{2}$

別の解法としては、ロピタルの定理を使うこともできます。

$\lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{2t}$

これも $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再びロピタルの定理を使うと、

$\lim_{t \to 0} \frac{\cos t}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 1/2