問題は2つあります。 (1) 極限 $\lim_{x \to \infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ を求めよ。 (2) $n$ が奇数のとき、$\sin x = \sum_{l=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} x^{2l+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ ($0 < \theta < 1$) である。$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 極限 $\lim_{x \to \infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ を求めよ。

(2) $n$ が奇数のとき、$\sin x = \sum_{l=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} x^{2l+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ ($0 < \theta < 1$) である。$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 極限の計算

$\lim_{x \to \infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ を計算する。

まず、$\frac{x-1}{x+1} = \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$と変形する。

ここで、$t = \frac{1}{x}$と置くと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$となる。

よって、$\lim_{x \to \infty} x \log(\frac{x-1}{x+1}) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log(\frac{1-t}{1+t})$となる。

$\log(\frac{1-t}{1+t}) = \log(1-t) - \log(1+t)$である。

$\log(1+t)$のマクローリン展開は、$\log(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots$ である。

$\log(1-t)$のマクローリン展開は、$\log(1-t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \cdots$ である。

したがって、$\log(1-t) - \log(1+t) = (-t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \cdots) - (t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots) = -2t - \frac{2t^3}{3} - \cdots$

$\lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log(\frac{1-t}{1+t}) = \lim_{t \to 0} \frac{-2t - \frac{2t^3}{3} - \cdots}{t} = \lim_{t \to 0} (-2 - \frac{2t^2}{3} - \cdots) = -2$

(2) $\sin \frac{1}{3}$ の計算

$\sin x = \sum_{l=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} x^{2l+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ を用いて、$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで求める。

$x = \frac{1}{3}$ なので、$\sin \frac{1}{3} = \sum_{l=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} (\frac{1}{3})^{2l+1} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{n\pi}{2})}{n!} (\frac{1}{3})^n$

$n$ が奇数なので、$n = 1, 3, 5, \cdots$ を試す。

$n=1$のとき、$\sin x = \frac{\sin(\theta x + \frac{\pi}{2})}{1!}x = \sin(\theta x + \frac{\pi}{2})x$ であり、$\sin \frac{1}{3} = \sin(\frac{\theta}{3} + \frac{\pi}{2})\frac{1}{3} = \cos(\frac{\theta}{3}) \frac{1}{3}$ となり、これは使えない。

$n=3$のとき、$\sin x = \sum_{l=0}^{0} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} x^{2l+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{3\pi}{2})}{3!} x^3 = x + \frac{\sin(\theta x + \frac{3\pi}{2})}{6} x^3 = x - \frac{\cos(\theta x)}{6} x^3$

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{6} (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{3} - \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{6 \cdot 27} = \frac{1}{3} - \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{162}$

$0 < \theta < 1$ なので、$0 < \frac{\theta}{3} < \frac{1}{3}$ である。

$\cos(\frac{1}{3}) \approx \cos(0.333) \approx 0.94496$

したがって、$\frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{162} \approx \frac{0.94496}{162} \approx 0.00583$

$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - 0.00583 = 0.33333 - 0.00583 = 0.32750$

$n=5$のとき、$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{\sin(\theta x + \frac{5\pi}{2})}{5!} x^5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\sin(\theta x + \frac{5\pi}{2})}{120} x^5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\sin(\theta x + \frac{\pi}{2})}{120} x^5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\cos(\theta x)}{120} x^5$

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} (\frac{1}{3})^3 + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{120} (\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{3} - \frac{1}{6 \cdot 27} + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{120 \cdot 243} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160}$

$\sin \frac{1}{3} = 0.33333 - 0.00617 + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160} = 0.32716 + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160}$

$\frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160} \approx \frac{0.94496}{29160} = 0.0000324$

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.32716 + 0.0000324 = 0.32719$

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to \infty} x \log(\frac{x-1}{x+1}) = -2$

(2) $\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$