与えられた極限の値を計算します。具体的には、以下の3つの極限を求めます。 (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x}$

1. 問題の内容

与えられた極限の値を計算します。具体的には、以下の3つの極限を求めます。

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x}$

2. 解き方の手順

(3)

$\sin 3x$ は $-1$ と $1$ の間の値をとります。つまり、$-1 \le \sin 3x \le 1$ です。したがって、

$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin 3x}{x} \le \frac{1}{x}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ なので、はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x} = 0$

(4)

ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+0^2} = 1$

または、$\tan^{-1} x$ のマクローリン展開を用いると、$\tan^{-1} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - ...$ となります。

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - ...}{x} = \lim_{x \to 0} (1 - \frac{x^2}{3} + \frac{x^4}{5} - ...) = 1$

(6)

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot x \sin(1/x)$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ です。

また、$-1 \le \sin(1/x) \le 1$ なので、$-|x| \le x \sin(1/x) \le |x|$ となります。

$x \to 0$ のとき、$|x| \to 0$ なので、はさみうちの原理より、$\lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0$ となります。

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x} = 1 \cdot 0 = 0$

3. 最終的な答え

(3) 0

(4) 1

(6) 0