問題は以下の2つです。 (1) $\lim_{x \to \infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ を求めよ。 (2) $n$ が奇数のとき、$\sin x = \sum_{l=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!}x^{2l+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!}x^n$ $(0 < \theta < 1)$ である。$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) $\lim_{x \to \infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ を求めよ。

(2) $n$ が奇数のとき、$\sin x = \sum_{l=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!}x^{2l+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!}x^n$ $(0 < \theta < 1)$ である。$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to \infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ を求める。

まず、$\frac{x-1}{x+1} = \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$と変形する。

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき、$t \to 0$ となる。

よって、$\lim_{x \to \infty} x \log(\frac{x-1}{x+1}) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log(\frac{1-t}{1+t}) = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t}$ となる。

ここで、$\log(1+x)$ のマクローリン展開 $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ を用いると、

$\log(1-t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \cdots$

$\log(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots$

となる。

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{(-t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \cdots) - (t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-2t - \frac{2t^3}{3} - \cdots}{t} = \lim_{t \to 0} (-2 - \frac{2t^2}{3} - \cdots) = -2$ となる。

または、ロピタルの定理を使う。

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{-1}{1-t} - \frac{1}{1+t}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{-1-t-1+t}{(1-t)(1+t)} = \lim_{t \to 0} \frac{-2}{1-t^2} = -2$

(2)

$\sin x = \sum_{l=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!}x^{2l+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!}x^n$ において、$x = \frac{1}{3}$ とする。$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで求める。

$\sin x$ のマクローリン展開は、$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$ である。

$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{(\frac{1}{3})^3}{3!} + \frac{(\frac{1}{3})^5}{5!} - \frac{(\frac{1}{3})^7}{7!} + \cdots$

$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{1}{3^3 \cdot 6} + \frac{1}{3^5 \cdot 120} - \frac{1}{3^7 \cdot 5040} + \cdots$

$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{1}{27 \cdot 6} + \frac{1}{243 \cdot 120} - \frac{1}{2187 \cdot 5040} + \cdots$

$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{1}{29160} - \frac{1}{11016360} + \cdots$

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.33333 - 0.00617 + 0.00003 - 0.00000009077 + \cdots$

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$

3. 最終的な答え

(1) $-2$

(2) $0.3272$