(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ を求めよ。 (2) $n$ が奇数のとき、 $\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!}x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!}x^n \quad (0 < \theta < 1)$ である。$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ を求めよ。

(2) $n$ が奇数のとき、 $\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!}x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!}x^n \quad (0 < \theta < 1)$ である。$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ を求める。

まず、$\frac{x-1}{x+1} = \frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$ と変形する。

ここで、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to +\infty$ のとき $t \to 0$ となるので、

$\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1}) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log(\frac{1-t}{1+t}) = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t}$ となる。

ここで、$\log(1+x)$ のマクローリン展開 $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$ を用いると、

$\log(1-t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} - \dots$

$\log(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} + \dots$

となるので、

$\log(1-t) - \log(1+t) = -2t - \frac{2t^3}{3} - \frac{2t^5}{5} - \dots$

よって、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-2t - \frac{2t^3}{3} - \frac{2t^5}{5} - \dots}{t} = \lim_{t \to 0} (-2 - \frac{2t^2}{3} - \frac{2t^4}{5} - \dots) = -2$

(2) $\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!}x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!}x^n$ で $x = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで求める。$n$ は奇数なので、$n=3$ とすると、$\frac{n-3}{2} = 0$ となるので、$\sum_{\ell=0}^{0} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!}x^{2\ell+1} = \frac{(-1)^0}{(2\cdot 0 + 1)!}x^{2\cdot 0 + 1} = x = \frac{1}{3}$ となる。

また、$\frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!}x^n = \frac{\sin(\theta \frac{1}{3} + \frac{3\pi}{2})}{3!}(\frac{1}{3})^3 = \frac{\sin(\theta \frac{1}{3} + \frac{3\pi}{2})}{6 \cdot 27} = \frac{\sin(\theta \frac{1}{3} + \frac{3\pi}{2})}{162}$ となる。

ここで、$\frac{3\pi}{2} = \pi + \frac{\pi}{2}$ であり、$\sin(x + \frac{3\pi}{2}) = -\cos x$ であるから、$\frac{\sin(\theta \frac{1}{3} + \frac{3\pi}{2})}{162} = \frac{-\cos(\frac{\theta}{3})}{162}$ となる。$0 < \theta < 1$ より、$\frac{1}{3} > \frac{\theta}{3} > 0$ なので、$\cos(\frac{\theta}{3})$ は $\cos 0 = 1$ に近い値をとる。

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{-\cos(\frac{\theta}{3})}{162}$ である。$\theta$ が不明なので、$\sin x$ のマクローリン展開 $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$ を用いて $\sin \frac{1}{3}$ を計算する。

$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{(\frac{1}{3})^3}{3!} = \frac{1}{3} - \frac{1}{27 \cdot 6} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} = \frac{54-1}{162} = \frac{53}{162} \approx 0.32716$

$n = 5$ とすると、$\frac{n-3}{2} = 1$ であり、$\sum_{\ell=0}^{1} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!}x^{2\ell+1} = \frac{(-1)^0}{1!}x + \frac{(-1)^1}{3!}x^3 = x - \frac{x^3}{6}$ となる。$\frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!}x^n = \frac{\sin(\theta x + \frac{5\pi}{2})}{5!}x^5 = \frac{\sin(\theta \frac{1}{3} + \frac{5\pi}{2})}{120}(\frac{1}{3})^5 = \frac{\sin(\theta \frac{1}{3} + \frac{5\pi}{2})}{120 \cdot 243} = \frac{\sin(\theta \frac{1}{3} + \frac{5\pi}{2})}{29160}$ である。ここで、$\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$ なので、$\sin(x + \frac{5\pi}{2}) = \cos x$ である。

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{(\frac{1}{3})^3}{6} + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160} = \frac{53}{162} + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160}$ である。

$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{(\frac{1}{3})^3}{3!} + \frac{(\frac{1}{3})^5}{5!} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{1}{29160} = \frac{53}{162} + \frac{1}{29160} = \frac{9540+1}{29160} = \frac{9541}{29160} \approx 0.32721$

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 0.3272