次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 0} (1 + x + x^2)^{1/x}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 0} (1 + x + x^2)^{1/x}$

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $1^\infty$ の形なので、自然対数を利用して解きます。

まず、与えられた式全体を $y$ とおきます。

$y = (1 + x + x^2)^{1/x}$

両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln (1 + x + x^2)^{1/x} = \frac{1}{x} \ln (1 + x + x^2)$

$x \to 0$ のときの $\ln y$ の極限を考えます。

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x + x^2)}{x}$

ここで、ロピタルの定理を使います。分子と分母をそれぞれ $x$ で微分します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x + x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + 2x}{1 + x + x^2}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + 2x}{1 + x + x^2}$

$x \to 0$ のとき、分子は $1 + 2(0) = 1$ に、分母は $1 + 0 + 0^2 = 1$ に近づきます。よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 + 2x}{1 + x + x^2} = \frac{1}{1} = 1$

したがって、$\lim_{x \to 0} \ln y = 1$ です。

$\ln y$ の極限が1なので、$y$ の極限は $e^1 = e$ となります。

$\lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} (1 + x + x^2)^{1/x} = e$

3. 最終的な答え

e