関数 $y = \sqrt[6]{x}$ を微分せよ。ただし、$f(x) = x^6 (x \geq 0)$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \sqrt[6]{x}$ であることを用いてもよい。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt[6]{x}$ を微分せよ。ただし、$f(x) = x^6 (x \geq 0)$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \sqrt[6]{x}$ であることを用いてもよい。

2. 解き方の手順

$y = \sqrt[6]{x}$ は $y = x^{\frac{1}{6}}$ と書き換えられます。

次に、べき関数の微分公式 $\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$ を用います。

この公式を $y = x^{\frac{1}{6}}$ に適用すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6}x^{\frac{1}{6} - 1} = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}}$

となります。

これを整理すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x^{\frac{5}{6}}} = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}$